数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数 - 最大値、最小値、倍角、三角関数の合成、正弦と余弦

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.3(三角関数)、問題9の解答を求めてみる。

9. 
   
   $\begin{array}{l}f\left(x\right)\\ =\frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}-\sqrt{5}·\frac{\sin \left(2x\right)}{2}+3·\frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}\\ =2-\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}\sin \left(2x\right)+2\cos \left(2x\right)\right)\end{array}$

   ここで、

   $\begin{array}{l}\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{5+4}}=\frac{2}{3}\\ \cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}$

   とおくと、

   $\begin{array}{l}f\left(x\right)=2-\frac{1}{2}·3\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\sin \left(2x\right)+\frac{2}{3}\cos \left(2x\right)\right)\\ =2-\frac{3}{2}\left(\cos \theta \sin \left(2x\right)+\sin \theta \cos \left(2x\right)\right)\\ =2-\frac{3}{2}\left(\sin \left(2x+\theta \right)\right)\end{array}$

   また、

   $-1\le \sin \left(2x+\theta \right)\le 1$

   なので、 関数 f の最大値、最小値はそれぞれ

   $\begin{array}{l}2-\frac{3}{2}\left(-1\right)=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}\\ 2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, sqrt, Rational, plot

print('9.')

x = symbols('x')
f = cos(x) ** 2 - sqrt(5) * sin(x) * cos(x) + 3 * sin(x) ** 2

p = plot(f, Rational(7, 2), Rational(1, 2),
         (x, -5, 5),
         ylim=(0, 10),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample9.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample9.py
9.

C:\Users\...>