数学 - Python - 線形代数学 - 群 - 群とその例 - 多項式、複素数、零点、解、n乗根、情報群、位数

ラング線形代数学(下)
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群とその例)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $s,t,u$

   を問題の多項式の零点である複素数とする。

   $\begin{array}{l}{s}^n-1=0\\ t^n-1=0\\ u^n-1=0\\ s^n=1\\ t^n=1\\ u^n=1\end{array}$

   乗法について。

   $\begin{array}{l}{\left(st\right)}^n-1\\ =s^n{t}^n-1\\ =1-1\\ =0\end{array}$

   よって、 st も 多項式の零点である。

   GR 1について、複素数の積は結合律を満たす。

   $\left(st\right)u=s\left(tu\right)$

   GR 2について、 1 が 単位元である。

   $\begin{array}{l}{1}^n-1=0\\ 1·s=s·1=s\end{array}$

   GR 3 について、

   $0^n-1\ne 0$

   なので、 問題の多項式の零点は0ではない。

   また、

   $\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{t}\right)}^n-1\\ =\frac{1}{t^n}-1\\ =1-1\\ =0\\ t·\frac{1}{t}=\frac{1}{t}·t=1\end{array}$

   となり逆元は存在する。

   ゆえに群である。

   位数について、

   $t^n-1=0$

   の複素数の異なる能の個数は n なので n である。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, I

print('3.')

t = symbols('t', imag=True)
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
f = t ** n - 1

pprint(solve(f, t))

for n0 in range(1, 11):
    s = solve(f.subs({n: n0}))
    for o in [f'n = {n0}', len(s) == n0] + s:
        pprint(o)
        print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
[1]
n = 1

True

1

n = 2

True

-1

1

n = 3

True

1

  1   √3⋅ⅈ
- ─ - ────
  2    2  

  1   √3⋅ⅈ
- ─ + ────
  2    2  

n = 4

True

-1

1

-ⅈ

ⅈ

n = 5

True

1

                 ________
  1   √5        ╱ √5   5 
- ─ + ── - ⅈ⋅  ╱  ── + ─ 
  4   4      ╲╱   8    8 

                 ________
  1   √5        ╱ √5   5 
- ─ + ── + ⅈ⋅  ╱  ── + ─ 
  4   4      ╲╱   8    8 

                 ________
  √5   1        ╱ 5   √5 
- ── - ─ - ⅈ⋅  ╱  ─ - ── 
  4    4     ╲╱   8   8  

                 ________
  √5   1        ╱ 5   √5 
- ── - ─ + ⅈ⋅  ╱  ─ - ── 
  4    4     ╲╱   8   8  

n = 6

True

-1

1

  1   √3⋅ⅈ
- ─ - ────
  2    2  

  1   √3⋅ⅈ
- ─ + ────
  2    2  

1   √3⋅ⅈ
─ - ────
2    2  

1   √3⋅ⅈ
─ + ────
2    2  

n = 7

True

1

     ⎛π⎞        ⎛π⎞
- cos⎜─⎟ - ⅈ⋅sin⎜─⎟
     ⎝7⎠        ⎝7⎠

     ⎛π⎞        ⎛π⎞
- cos⎜─⎟ + ⅈ⋅sin⎜─⎟
     ⎝7⎠        ⎝7⎠

   ⎛2⋅π⎞        ⎛2⋅π⎞
cos⎜───⎟ - ⅈ⋅sin⎜───⎟
   ⎝ 7 ⎠        ⎝ 7 ⎠

   ⎛2⋅π⎞        ⎛2⋅π⎞
cos⎜───⎟ + ⅈ⋅sin⎜───⎟
   ⎝ 7 ⎠        ⎝ 7 ⎠

     ⎛3⋅π⎞        ⎛3⋅π⎞
- cos⎜───⎟ - ⅈ⋅sin⎜───⎟
     ⎝ 7 ⎠        ⎝ 7 ⎠

     ⎛3⋅π⎞        ⎛3⋅π⎞
- cos⎜───⎟ + ⅈ⋅sin⎜───⎟
     ⎝ 7 ⎠        ⎝ 7 ⎠

n = 8

True

-1

1

-ⅈ

ⅈ

  √2   √2⋅ⅈ
- ── - ────
  2     2  

  √2   √2⋅ⅈ
- ── + ────
  2     2  

√2   √2⋅ⅈ
── - ────
2     2  

√2   √2⋅ⅈ
── + ────
2     2  

n = 9

True

1

  1   √3⋅ⅈ
- ─ - ────
  2    2  

  1   √3⋅ⅈ
- ─ + ────
  2    2  

     ⎛π⎞        ⎛π⎞
- cos⎜─⎟ - ⅈ⋅sin⎜─⎟
     ⎝9⎠        ⎝9⎠

     ⎛π⎞        ⎛π⎞
- cos⎜─⎟ + ⅈ⋅sin⎜─⎟
     ⎝9⎠        ⎝9⎠

   ⎛2⋅π⎞        ⎛2⋅π⎞
cos⎜───⎟ - ⅈ⋅sin⎜───⎟
   ⎝ 9 ⎠        ⎝ 9 ⎠

   ⎛2⋅π⎞        ⎛2⋅π⎞
cos⎜───⎟ + ⅈ⋅sin⎜───⎟
   ⎝ 9 ⎠        ⎝ 9 ⎠

   ⎛4⋅π⎞        ⎛4⋅π⎞
cos⎜───⎟ - ⅈ⋅sin⎜───⎟
   ⎝ 9 ⎠        ⎝ 9 ⎠

   ⎛4⋅π⎞        ⎛4⋅π⎞
cos⎜───⎟ + ⅈ⋅sin⎜───⎟
   ⎝ 9 ⎠        ⎝ 9 ⎠

n = 10

True

-1

1

                 ________
  1   √5        ╱ √5   5 
- ─ + ── - ⅈ⋅  ╱  ── + ─ 
  4   4      ╲╱   8    8 

                 ________
  1   √5        ╱ √5   5 
- ─ + ── + ⅈ⋅  ╱  ── + ─ 
  4   4      ╲╱   8    8 

               ________
1   √5        ╱ 5   √5 
─ + ── - ⅈ⋅  ╱  ─ - ── 
4   4      ╲╱   8   8  

               ________
1   √5        ╱ 5   √5 
─ + ── + ⅈ⋅  ╱  ─ - ── 
4   4      ╲╱   8   8  

                 ________
  √5   1        ╱ 5   √5 
- ── - ─ - ⅈ⋅  ╱  ─ - ── 
  4    4     ╲╱   8   8  

                 ________
  √5   1        ╱ 5   √5 
- ── - ─ + ⅈ⋅  ╱  ─ - ── 
  4    4     ╲╱   8   8  

                 ________
  √5   1        ╱ √5   5 
- ── + ─ - ⅈ⋅  ╱  ── + ─ 
  4    4     ╲╱   8    8 

                 ________
  √5   1        ╱ √5   5 
- ── + ─ + ⅈ⋅  ╱  ── + ─ 
  4    4     ╲╱   8    8 

$