数学 - Python - 微分積分学 - 微分法の公式 - 無理関数 - 多項式、代数方程式、累乗根(平方根、立方根)

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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田洋一(著)、筑摩書房)のⅡ.(微分法の公式)、4.(無理関数)、問1の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} y = \sqrt{1 + x^{3}} + \sqrt[3]{1 + x^{3}} \\ y - \sqrt{1 + x^{3}} = \sqrt[3]{1 + x^{3}} \\ {(y - \sqrt{1 + x^{3}})}^{3} = 1 + x^{3} \\ y^{3} - 3 y^{2} \sqrt{1 + x^{3}} + 3 y (1 + x^{3}) - (1 + x^{3}) \sqrt{1 + x^{3}} = 1 + x^{3} \\ y^{3} + 3 y (1 + x^{3}) - (1 + x^{3}) = (3 y^{2} + (1 + x^{3})) \sqrt{1 + x^{3}} \\ {(y^{3} + 3 y (1 + x^{3}) - (1 + x^{3}))}^{2} = {(3 y^{2} + (1 + x^{3}))}^{2} (1 + x^{3}) \\ y^{6} + 2 y^{3} (3 y (1 + x^{3}) - (1 + x^{3})) + 9 y^{2} {(1 + x^{3})}^{2} - 6 y {(1 + x)}^{2} + {(1 + x^{3})}^{2} \\ = (9 y^{4} + 6 y^{2} (1 + x^{3}) + {(1 + x^{3})}^{2}) (1 + x^{3}) \\ y^{6} - 3 (1 + x^{3}) y^{4} - 2 (1 + x^{3}) y^{3} + 3 {(1 + x^{3})}^{2} y^{2} - 6 {(1 + x^{2})}^{2} y - {(1 + x^{3})}^{2} x^{3} = 0 \end{array}$
よって、（4）の形の代数方程式を満足する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, root, solve

print('1.')

x, y = symbols('x, y')
cs = [1,
      0,
      -3 * (1 + x ** 3),
      -2 * (1 + x ** 3),
      3 * (1 + x ** 3) ** 2,
      -6 * (1 + x ** 3) ** 2,
      -(1 + x ** 3) ** 2 * x ** 3]
eq = sum([c * y ** (6 - i) for i, c in enumerate(cs)])
y0 = sqrt(1 + x ** 3) + root(1 + x ** 3, 3)

for o in [eq, solve(eq, y), eq.subs({y: y0}).simplify()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
             2                                                         2      
   3 ⎛ 3    ⎞     6    4 ⎛     3    ⎞    3 ⎛     3    ⎞      2 ⎛ 3    ⎞       
- x ⋅⎝x  + 1⎠  + y  + y ⋅⎝- 3⋅x  - 3⎠ + y ⋅⎝- 2⋅x  - 2⎠ + 3⋅y ⋅⎝x  + 1⎠  - 6⋅y

         2
 ⎛ 3    ⎞ 
⋅⎝x  + 1⎠ 

[]

0

$

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2019年9月27日金曜日

数学 - Python - 微分積分学 - 微分法の公式 - 無理関数 - 多項式、代数方程式、累乗根(平方根、立方根)

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