数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 2の累乗(べき乗)、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題8を求めてみる。

8. 
   
   $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left|2^n\right|}^{\frac{1}{n}}\\ =2\end{array}$

   よって、 収束半径は、

   $\frac{1}{2}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, Rational

print('8.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = 2 ** n
f = summation(an * x ** n, (n, 0, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s, s.doit(), 1 / s.doit(), f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(10)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(m)])


fs = [g(m) for m in ms]
p = plot(*fs,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample8.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample8.py
8.
     re(n)
     ─────
       n  
lim 2     
n─→∞      

2

1/2

⎧    ∞       for 2⋅x = 1
⎪                       
⎪         ∞             
⎨1 - (2⋅x)              
⎪──────────   otherwise 
⎪ 1 - 2⋅x               
⎩                       

(0, red)

(1, green)

(2⋅x + 1, blue)

⎛   2                 ⎞
⎝4⋅x  + 2⋅x + 1, brown⎠

⎛   3      2                  ⎞
⎝8⋅x  + 4⋅x  + 2⋅x + 1, orange⎠

⎛    4      3      2                  ⎞
⎝16⋅x  + 8⋅x  + 4⋅x  + 2⋅x + 1, purple⎠

⎛    5       4      3      2                ⎞
⎝32⋅x  + 16⋅x  + 8⋅x  + 4⋅x  + 2⋅x + 1, pink⎠

⎛    6       5       4      3      2                ⎞
⎝64⋅x  + 32⋅x  + 16⋅x  + 8⋅x  + 4⋅x  + 2⋅x + 1, gray⎠

⎛     7       6       5       4      3      2                   ⎞
⎝128⋅x  + 64⋅x  + 32⋅x  + 16⋅x  + 8⋅x  + 4⋅x  + 2⋅x + 1, skyblue⎠

⎛     8        7       6       5       4      3      2                  ⎞
⎝256⋅x  + 128⋅x  + 64⋅x  + 32⋅x  + 16⋅x  + 8⋅x  + 4⋅x  + 2⋅x + 1, yellow⎠

$