数学 - Python - 微分積分学 - 微分法の公式 - 数学的帰納法 - 関数の積の導関数、一般化

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田洋一(著)、筑摩書房)のⅡ.(微分法の公式)、2.(数学的帰納法)、問1の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{d}{dx} F (x) \\ = \frac{d}{dx} (f_{1} (x) \dots f_{n - 1} (x) f_{n} (x)) \\ = \frac{d}{dx} (f_{1} (x) \cdot \dots \cdot f_{n - 1} (x) f_{n} (x) + f_{1} (x) \cdot \dots \cdot f_{n - 1} (x) \frac{d}{dx} f_{n} (x) \\ = f_{1}' (x) f_{2} (x) \cdot \dots \cdot f_{n - 1} (x) f_{n} (x) \\ + f_{1} (x) f_{2}' (x) f_{3} (x) \cdot \dots \cdot f_{n - 1} (x) f_{n} (x) \\ + \dots \\ + f_{1} (x) \cdot \dots \cdot f_{n - 1}' (x) f_{n} (x) \\ + f_{1} (x) \cdot \dots \cdot f_{n - 1} (x) f_{n}' (x) \end{array}$
よって、帰納法によりすべての自然.'数について成り立つ。
（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Function, product, Derivative

print('1.')

x = symbols('x')
f = 1

for i in range(1, 6):
    print(f'n = {i}')
    f *= Function(f'f_{i}')(x)
    d = Derivative(f, x, 1)
    for o in [d, d.doit()]:
        pprint(o)
        print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
n = 1
d        
──(f₁(x))
dx       

d        
──(f₁(x))
dx       

n = 2
d              
──(f₁(x)⋅f₂(x))
dx             

      d                 d        
f₁(x)⋅──(f₂(x)) + f₂(x)⋅──(f₁(x))
      dx                dx       

n = 3
d                    
──(f₁(x)⋅f₂(x)⋅f₃(x))
dx                   

            d                       d                       d        
f₁(x)⋅f₂(x)⋅──(f₃(x)) + f₁(x)⋅f₃(x)⋅──(f₂(x)) + f₂(x)⋅f₃(x)⋅──(f₁(x))
            dx                      dx                      dx       

n = 4
d                          
──(f₁(x)⋅f₂(x)⋅f₃(x)⋅f₄(x))
dx                         

                  d                             d                             
f₁(x)⋅f₂(x)⋅f₃(x)⋅──(f₄(x)) + f₁(x)⋅f₂(x)⋅f₄(x)⋅──(f₃(x)) + f₁(x)⋅f₃(x)⋅f₄(x)⋅
                  dx                            dx                            

d                             d        
──(f₂(x)) + f₂(x)⋅f₃(x)⋅f₄(x)⋅──(f₁(x))
dx                            dx       

n = 5
d                                
──(f₁(x)⋅f₂(x)⋅f₃(x)⋅f₄(x)⋅f₅(x))
dx                               

                        d                                   d                 
f₁(x)⋅f₂(x)⋅f₃(x)⋅f₄(x)⋅──(f₅(x)) + f₁(x)⋅f₂(x)⋅f₃(x)⋅f₅(x)⋅──(f₄(x)) + f₁(x)⋅
                        dx                                  dx                

                  d                                   d                       
f₂(x)⋅f₄(x)⋅f₅(x)⋅──(f₃(x)) + f₁(x)⋅f₃(x)⋅f₄(x)⋅f₅(x)⋅──(f₂(x)) + f₂(x)⋅f₃(x)⋅
                  dx                                  dx                      

            d        
f₄(x)⋅f₅(x)⋅──(f₁(x))
            dx       

$

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