数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 逆正接関数、等式の証明、ライプニッツの公式、漸化式、偶奇、階乗

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題13の解答を求めてみる。

13. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}y=\frac{1}{1+x^2}\\ \left(1+x^2\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=1\end{array}$

    ライプニッツの公式により、 左辺について、

    $\begin{array}{l}\frac{d^{n+1}}{{\mathrm{dx}}^{n+1}}\left(\left(1+x^2\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)\\ =\left(1+x^2\right)\frac{d^{n+2}}{d{x}^{n+2}}y+\left(n+1\right)2x\frac{d^{n+1}}{{\mathrm{dx}}^{n+1}}y+\frac{n\left(n+1\right)}{2}·2\frac{d^n}{d{x}^n}y\\ =\left(1+x^2\right)\frac{d^{n+2}}{d{x}^{n+2}}y+2\left(n+1\right)x\frac{d^{n+1}}{d{x}^{n+1}}y+\left(n+1\right)n\frac{d^n}{d{x}^n}y\end{array}$

    右辺は0。

    よって、

    $\left(1+x^2\right)\frac{d^{n+2}}{d{x}^{n+2}}y+2\left(n+1\right)x\frac{d^{n+1}}{{\mathrm{dx}}^{n+1}}y+\left(n+1\right)n\frac{d^n}{d{x}^n}y=0$

    （証明終）

    等式の x に0を代入すると、

    $\begin{array}{l}\frac{d^{n+2}}{{\mathrm{dx}}^{n+2}}y\left(0\right)+\left(n+1\right)n\frac{d^n}{d{x}^n}y\left(0\right)=0\\ \frac{d^{n+2}}{{\mathrm{dx}}^{n+2}}y\left(0\right)=-\left(n+1\right)n\frac{d^n}{d{x}^n}y\left(0\right)\end{array}$

    また、

    $\begin{array}{l}y\left(0\right)=\arctan 0=0\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}y\left(0\right)=\frac{1}{1+0^2}=1\end{array}$

    が成り立つ。

    よって、

    $\begin{array}{l}\frac{d^{2n}}{d{x}^{2n}}y\left(0\right)=0\\ \frac{d^{2n+1}}{d{x}^{2n+1}}y\left(0\right)={\left(-1\right)}^n\left(2n\right)!\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, atan, Derivative, solve, plot

print('13.')

x = symbols('x')
y = atan(x)
n = symbols('n', nonnegative=True, integer=True)

for n in range(10):
    print(f'n = {n}')
    eq = (1 + x ** 2) * Derivative(y, x, n + 2) + 2 * (n + 1) * x * \
        Derivative(y, x, n + 1) + (n + 1) * n * Derivative(y, x, n)
    yn0 = Derivative(y, x, n)
    for o in [eq, eq.doit(), yn0.doit().subs({x: 0})]:
        pprint(o.simplify())
        print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample13.py
13.
n = 0
                             2         
    d             ⎛ 2    ⎞  d          
2⋅x⋅──(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x))
    dx                       2         
                           dx          

0

0

n = 1
      2                       3                         
     d             ⎛ 2    ⎞  d               d          
4⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 2⋅──(atan(x))
      2                       3              dx         
    dx                      dx                          

0

1

n = 2
      3                       4                2         
     d             ⎛ 2    ⎞  d                d          
6⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 6⋅───(atan(x))
      3                       4                2         
    dx                      dx               dx          

0

0

n = 3
      4                       5                 3         
     d             ⎛ 2    ⎞  d                 d          
8⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 12⋅───(atan(x))
      4                       5                 3         
    dx                      dx                dx          

0

-2

n = 4
       5                       6                 4         
      d             ⎛ 2    ⎞  d                 d          
10⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 20⋅───(atan(x))
       5                       6                 4         
     dx                      dx                dx          

0

0

n = 5
       6                       7                 5         
      d             ⎛ 2    ⎞  d                 d          
12⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 30⋅───(atan(x))
       6                       7                 5         
     dx                      dx                dx          

0

24

n = 6
       7                       8                 6         
      d             ⎛ 2    ⎞  d                 d          
14⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 42⋅───(atan(x))
       7                       8                 6         
     dx                      dx                dx          

0

0

n = 7
       8                       9                 7         
      d             ⎛ 2    ⎞  d                 d          
16⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 56⋅───(atan(x))
       8                       9                 7         
     dx                      dx                dx          

0

-720

n = 8
       9                      10                  8         
      d             ⎛ 2    ⎞ d                   d          
18⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅────(atan(x)) + 72⋅───(atan(x))
       9                       10                 8         
     dx                      dx                 dx          

0

0

n = 9
      10                       11                  9         
     d               ⎛ 2    ⎞ d                   d          
20⋅x⋅────(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅────(atan(x)) + 90⋅───(atan(x))
       10                       11                 9         
     dx                       dx                 dx          

0

40320

$