2019年9月28日土曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題13の解答を求めてみる。


  1. d dx y = 1 1 + x 2 1 + x 2 dy dx = 1

    ライプニッツの公式により、 左辺について、

    d n + 1 dx n + 1 1 + x 2 dy dx = 1 + x 2 d n + 2 d x n + 2 y + n + 1 2 x d n + 1 dx n + 1 y + n n + 1 2 · 2 d n d x n y = 1 + x 2 d n + 2 d x n + 2 y + 2 n + 1 x d n + 1 d x n + 1 y + n + 1 n d n d x n y

    右辺は0。

    よって、

    1 + x 2 d n + 2 d x n + 2 y + 2 n + 1 x d n + 1 dx n + 1 y + n + 1 n d n d x n y = 0

    (証明終)

    等式の x に0を代入すると、

    d n + 2 dx n + 2 y 0 + n + 1 n d n d x n y 0 = 0 d n + 2 dx n + 2 y 0 = - n + 1 n d n d x n y 0

    また、

    y 0 = arctan 0 = 0 d dx y 0 = 1 1 + 0 2 = 1

    が成り立つ。

    よって、

    d 2 n d x 2 n y 0 = 0 d 2 n + 1 d x 2 n + 1 y 0 = - 1 n 2 n !

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, atan, Derivative, solve, plot

print('13.')

x = symbols('x')
y = atan(x)
n = symbols('n', nonnegative=True, integer=True)

for n in range(10):
    print(f'n = {n}')
    eq = (1 + x ** 2) * Derivative(y, x, n + 2) + 2 * (n + 1) * x * \
        Derivative(y, x, n + 1) + (n + 1) * n * Derivative(y, x, n)
    yn0 = Derivative(y, x, n)
    for o in [eq, eq.doit(), yn0.doit().subs({x: 0})]:
        pprint(o.simplify())
        print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample13.py
13.
n = 0
                             2         
    d             ⎛ 2    ⎞  d          
2⋅x⋅──(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x))
    dx                       2         
                           dx          

0

0

n = 1
      2                       3                         
     d             ⎛ 2    ⎞  d               d          
4⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 2⋅──(atan(x))
      2                       3              dx         
    dx                      dx                          

0

1

n = 2
      3                       4                2         
     d             ⎛ 2    ⎞  d                d          
6⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 6⋅───(atan(x))
      3                       4                2         
    dx                      dx               dx          

0

0

n = 3
      4                       5                 3         
     d             ⎛ 2    ⎞  d                 d          
8⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 12⋅───(atan(x))
      4                       5                 3         
    dx                      dx                dx          

0

-2

n = 4
       5                       6                 4         
      d             ⎛ 2    ⎞  d                 d          
10⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 20⋅───(atan(x))
       5                       6                 4         
     dx                      dx                dx          

0

0

n = 5
       6                       7                 5         
      d             ⎛ 2    ⎞  d                 d          
12⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 30⋅───(atan(x))
       6                       7                 5         
     dx                      dx                dx          

0

24

n = 6
       7                       8                 6         
      d             ⎛ 2    ⎞  d                 d          
14⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 42⋅───(atan(x))
       7                       8                 6         
     dx                      dx                dx          

0

0

n = 7
       8                       9                 7         
      d             ⎛ 2    ⎞  d                 d          
16⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅───(atan(x)) + 56⋅───(atan(x))
       8                       9                 7         
     dx                      dx                dx          

0

-720

n = 8
       9                      10                  8         
      d             ⎛ 2    ⎞ d                   d          
18⋅x⋅───(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅────(atan(x)) + 72⋅───(atan(x))
       9                       10                 8         
     dx                      dx                 dx          

0

0

n = 9
      10                       11                  9         
     d               ⎛ 2    ⎞ d                   d          
20⋅x⋅────(atan(x)) + ⎝x  + 1⎠⋅────(atan(x)) + 90⋅───(atan(x))
       10                       11                 9         
     dx                       dx                 dx          

0

40320

$ 

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