数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 2の累乗(べき乗)の逆数、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題9を求めてみる。

9. 
   
   $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left|2^{-n}\right|}^{\frac{1}{n}}\\ =\frac{1}{2}\end{array}$

   よって、収を半径は2。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, Rational

print('9.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = 2 ** -n
f = summation(an * x ** n, (n, 0, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s, s.doit(), 1 / s.doit(), f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(10)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(m)])


fs = [g(m) for m in ms]
p = plot(*fs,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample9.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample9.py
9.
     -re(n) 
     ───────
        n   
lim 2       
n─→∞        

1/2

2

⎧              x    
⎪   ∞      for ─ = 1
⎪              2    
⎪                   
⎪       ∞           
⎪    ⎛x⎞            
⎨1 - ⎜─⎟            
⎪    ⎝2⎠            
⎪────────  otherwise
⎪     x             
⎪ 1 - ─             
⎪     2             
⎩                   

(0, red)

(1, green)

⎛x          ⎞
⎜─ + 1, blue⎟
⎝2          ⎠

⎛ 2               ⎞
⎜x    x           ⎟
⎜── + ─ + 1, brown⎟
⎝4    2           ⎠

⎛ 3    2                ⎞
⎜x    x    x            ⎟
⎜── + ── + ─ + 1, orange⎟
⎝8    4    2            ⎠

⎛ 4    3    2                ⎞
⎜x    x    x    x            ⎟
⎜── + ── + ── + ─ + 1, purple⎟
⎝16   8    4    2            ⎠

⎛ 5    4    3    2              ⎞
⎜x    x    x    x    x          ⎟
⎜── + ── + ── + ── + ─ + 1, pink⎟
⎝32   16   8    4    2          ⎠

⎛ 6    5    4    3    2              ⎞
⎜x    x    x    x    x    x          ⎟
⎜── + ── + ── + ── + ── + ─ + 1, gray⎟
⎝64   32   16   8    4    2          ⎠

⎛  7    6    5    4    3    2                 ⎞
⎜ x    x    x    x    x    x    x             ⎟
⎜─── + ── + ── + ── + ── + ── + ─ + 1, skyblue⎟
⎝128   64   32   16   8    4    2             ⎠

⎛  8     7    6    5    4    3    2                ⎞
⎜ x     x    x    x    x    x    x    x            ⎟
⎜─── + ─── + ── + ── + ── + ── + ── + ─ + 1, yellow⎟
⎝256   128   64   32   16   8    4    2            ⎠

$