数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 累乗(べき乗)、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題10を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left|{\left(1+n\right)}^n\right|}^{\frac{1}{n}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+n\right)\\ =\infty \end{array}$

    よって収を半径は0。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, Rational

print('10.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = (n + 1) ** n
f = summation(an * x ** n, (n, 0, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s, s.doit(), 1 / s.doit(), f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(10)
fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


p = plot(*fs,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample10.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
10.
       ____________
    n ╱ │       n│ 
lim ╲╱  │(n + 1) │ 
n─→∞               

∞

0

  ∞              
 ___             
 ╲               
  ╲    n        n
  ╱   x ⋅(n + 1) 
 ╱               
 ‾‾‾             
n = 0            

⎛  0                   ⎞
⎜ ___                  ⎟
⎜ ╲                    ⎟
⎜  ╲    n        n     ⎟
⎜  ╱   x ⋅(n + 1) , red⎟
⎜ ╱                    ⎟
⎜ ‾‾‾                  ⎟
⎝n = 0                 ⎠

⎛  1                     ⎞
⎜ ___                    ⎟
⎜ ╲                      ⎟
⎜  ╲    n        n       ⎟
⎜  ╱   x ⋅(n + 1) , green⎟
⎜ ╱                      ⎟
⎜ ‾‾‾                    ⎟
⎝n = 0                   ⎠

⎛  2                    ⎞
⎜ ___                   ⎟
⎜ ╲                     ⎟
⎜  ╲    n        n      ⎟
⎜  ╱   x ⋅(n + 1) , blue⎟
⎜ ╱                     ⎟
⎜ ‾‾‾                   ⎟
⎝n = 0                  ⎠

⎛  3                     ⎞
⎜ ___                    ⎟
⎜ ╲                      ⎟
⎜  ╲    n        n       ⎟
⎜  ╱   x ⋅(n + 1) , brown⎟
⎜ ╱                      ⎟
⎜ ‾‾‾                    ⎟
⎝n = 0                   ⎠

⎛  4                      ⎞
⎜ ___                     ⎟
⎜ ╲                       ⎟
⎜  ╲    n        n        ⎟
⎜  ╱   x ⋅(n + 1) , orange⎟
⎜ ╱                       ⎟
⎜ ‾‾‾                     ⎟
⎝n = 0                    ⎠

⎛  5                      ⎞
⎜ ___                     ⎟
⎜ ╲                       ⎟
⎜  ╲    n        n        ⎟
⎜  ╱   x ⋅(n + 1) , purple⎟
⎜ ╱                       ⎟
⎜ ‾‾‾                     ⎟
⎝n = 0                    ⎠

⎛  6                    ⎞
⎜ ___                   ⎟
⎜ ╲                     ⎟
⎜  ╲    n        n      ⎟
⎜  ╱   x ⋅(n + 1) , pink⎟
⎜ ╱                     ⎟
⎜ ‾‾‾                   ⎟
⎝n = 0                  ⎠

⎛  7                    ⎞
⎜ ___                   ⎟
⎜ ╲                     ⎟
⎜  ╲    n        n      ⎟
⎜  ╱   x ⋅(n + 1) , gray⎟
⎜ ╱                     ⎟
⎜ ‾‾‾                   ⎟
⎝n = 0                  ⎠

⎛  8                       ⎞
⎜ ___                      ⎟
⎜ ╲                        ⎟
⎜  ╲    n        n         ⎟
⎜  ╱   x ⋅(n + 1) , skyblue⎟
⎜ ╱                        ⎟
⎜ ‾‾‾                      ⎟
⎝n = 0                     ⎠

⎛  9                      ⎞
⎜ ___                     ⎟
⎜ ╲                       ⎟
⎜  ╲    n        n        ⎟
⎜  ╱   x ⋅(n + 1) , yellow⎟
⎜ ╱                       ⎟
⎜ ‾‾‾                     ⎟
⎝n = 0                    ⎠

$