2019年9月23日月曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題4を求めてみる。


  1. lim n n n + 5 1 n = lim n 1 1 + 5 n 1 n = 1

    よって、 収束半径は1。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot

print('4.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = n / (n + 5)
f = summation(an * x ** n, (n, 1, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s, s.doit(), 1 / s.doit()]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(1, 12)
fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]
p = plot(*fs,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
        _________
       ╱ │  n  │ 
lim n ╱  │─────│ 
n─→∞╲╱   │n + 5│ 

1

1

⎛⎧                                       ⎛   4      3       2                 
⎜⎪                                       ⎜3⋅x  + 5⋅x  + 10⋅x  + 30⋅x - 60   30
⎜⎪     2 ⎛  35⋅Φ(x, 1, 7)      7   ⎞   x⋅⎜─────────────────────────────── + ──
⎜⎪  2⋅x ⋅⎜- ───────────── - ───────⎟     ⎜             6      5               
⎜⎪       ⎝        2         2⋅x - 2⎠     ⎝          2⋅x  - 2⋅x                
⎜⎪- ──────────────────────────────── + ───────────────────────────────────────
⎜⎪                 7                                            6             
⎜⎪                                                                            
⎜⎪                                        1                                   
⎜⎨                                       ____                                 
⎜⎪                                       ╲                                    
⎜⎪                                        ╲       n                           
⎜⎪                                         ╲   n⋅x                            
⎜⎪                                         ╱  ─────                           
⎜⎪                                        ╱   n + 5                           
⎜⎪                                       ╱                                    
⎜⎪                                       ‾‾‾‾                                 
⎜⎪                                      n = 1                                 
⎝⎩                                                                            

           ⎞                  ⎞
⋅log(1 - x)⎟                  ⎟
───────────⎟                  ⎟
     6     ⎟                  ⎟
    x      ⎠                  ⎟
────────────  for │x│ < 1     ⎟
                              ⎟
                              ⎟
                              ⎟
                         , red⎟
                              ⎟
                              ⎟
                              ⎟
               otherwise      ⎟
                              ⎟
                              ⎟
                              ⎟
                              ⎟
                              ⎠

⎛⎧                                       ⎛   4      3       2                 
⎜⎪                                       ⎜3⋅x  + 5⋅x  + 10⋅x  + 30⋅x - 60   30
⎜⎪     3 ⎛  40⋅Φ(x, 1, 8)      8   ⎞   x⋅⎜─────────────────────────────── + ──
⎜⎪  3⋅x ⋅⎜- ───────────── - ───────⎟     ⎜             6      5               
⎜⎪       ⎝        3         3⋅x - 3⎠     ⎝          2⋅x  - 2⋅x                
⎜⎪- ──────────────────────────────── + ───────────────────────────────────────
⎜⎪                 8                                            6             
⎜⎪                                                                            
⎜⎪                                        2                                   
⎜⎨                                       ____                                 
⎜⎪                                       ╲                                    
⎜⎪                                        ╲       n                           
⎜⎪                                         ╲   n⋅x                            
⎜⎪                                         ╱  ─────                           
⎜⎪                                        ╱   n + 5                           
⎜⎪                                       ╱                                    
⎜⎪                                       ‾‾‾‾                                 
⎜⎪                                      n = 1                                 
⎝⎩                                                                            

           ⎞                    ⎞
⋅log(1 - x)⎟                    ⎟
───────────⎟                    ⎟
     6     ⎟                    ⎟
    x      ⎠                    ⎟
────────────  for │x│ < 1       ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                         , green⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
               otherwise        ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎠

⎛⎧                                       ⎛   4      3       2                 
⎜⎪                                       ⎜3⋅x  + 5⋅x  + 10⋅x  + 30⋅x - 60   30
⎜⎪     4 ⎛  45⋅Φ(x, 1, 9)      9   ⎞   x⋅⎜─────────────────────────────── + ──
⎜⎪  4⋅x ⋅⎜- ───────────── - ───────⎟     ⎜             6      5               
⎜⎪       ⎝        4         4⋅x - 4⎠     ⎝          2⋅x  - 2⋅x                
⎜⎪- ──────────────────────────────── + ───────────────────────────────────────
⎜⎪                 9                                            6             
⎜⎪                                                                            
⎜⎪                                        3                                   
⎜⎨                                       ____                                 
⎜⎪                                       ╲                                    
⎜⎪                                        ╲       n                           
⎜⎪                                         ╲   n⋅x                            
⎜⎪                                         ╱  ─────                           
⎜⎪                                        ╱   n + 5                           
⎜⎪                                       ╱                                    
⎜⎪                                       ‾‾‾‾                                 
⎜⎪                                      n = 1                                 
⎝⎩                                                                            

           ⎞                   ⎞
⋅log(1 - x)⎟                   ⎟
───────────⎟                   ⎟
     6     ⎟                   ⎟
    x      ⎠                   ⎟
────────────  for │x│ < 1      ⎟
                               ⎟
                               ⎟
                               ⎟
                         , blue⎟
                               ⎟
                               ⎟
                               ⎟
               otherwise       ⎟
                               ⎟
                               ⎟
                               ⎟
                               ⎟
                               ⎠

⎛⎧                                     ⎛   4      3       2                   
⎜⎪                                     ⎜3⋅x  + 5⋅x  + 10⋅x  + 30⋅x - 60   30⋅l
⎜⎪   5 ⎛                     10  ⎞   x⋅⎜─────────────────────────────── + ────
⎜⎪  x ⋅⎜-10⋅Φ(x, 1, 10) - ───────⎟     ⎜             6      5                 
⎜⎪     ⎝                  5⋅x - 5⎠     ⎝          2⋅x  - 2⋅x                  
⎜⎪- ────────────────────────────── + ─────────────────────────────────────────
⎜⎪                2                                           6               
⎜⎪                                                                            
⎜⎪                                       4                                    
⎜⎨                                      ____                                  
⎜⎪                                      ╲                                     
⎜⎪                                       ╲       n                            
⎜⎪                                        ╲   n⋅x                             
⎜⎪                                        ╱  ─────                            
⎜⎪                                       ╱   n + 5                            
⎜⎪                                      ╱                                     
⎜⎪                                      ‾‾‾‾                                  
⎜⎪                                     n = 1                                  
⎝⎩                                                                            

         ⎞                    ⎞
og(1 - x)⎟                    ⎟
─────────⎟                    ⎟
   6     ⎟                    ⎟
  x      ⎠                    ⎟
──────────  for │x│ < 1       ⎟
                              ⎟
                              ⎟
                              ⎟
                       , brown⎟
                              ⎟
                              ⎟
                              ⎟
             otherwise        ⎟
                              ⎟
                              ⎟
                              ⎟
                              ⎟
                              ⎠

⎛⎧                                        ⎛   4      3       2                
⎜⎪                                        ⎜3⋅x  + 5⋅x  + 10⋅x  + 30⋅x - 60   3
⎜⎪     6 ⎛  55⋅Φ(x, 1, 11)      11  ⎞   x⋅⎜─────────────────────────────── + ─
⎜⎪  6⋅x ⋅⎜- ────────────── - ───────⎟     ⎜             6      5              
⎜⎪       ⎝        6          6⋅x - 6⎠     ⎝          2⋅x  - 2⋅x               
⎜⎪- ───────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────
⎜⎪                  11                                           6            
⎜⎪                                                                            
⎜⎪                                         5                                  
⎜⎨                                        ____                                
⎜⎪                                        ╲                                   
⎜⎪                                         ╲       n                          
⎜⎪                                          ╲   n⋅x                           
⎜⎪                                          ╱  ─────                          
⎜⎪                                         ╱   n + 5                          
⎜⎪                                        ╱                                   
⎜⎪                                        ‾‾‾‾                                
⎜⎪                                       n = 1                                
⎝⎩                                                                            

            ⎞                     ⎞
0⋅log(1 - x)⎟                     ⎟
────────────⎟                     ⎟
      6     ⎟                     ⎟
     x      ⎠                     ⎟
─────────────  for │x│ < 1        ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                          , orange⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                otherwise         ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                                  ⎠

⎛⎧                                        ⎛   4      3       2                
⎜⎪                                        ⎜3⋅x  + 5⋅x  + 10⋅x  + 30⋅x - 60   3
⎜⎪     7 ⎛  60⋅Φ(x, 1, 12)      12  ⎞   x⋅⎜─────────────────────────────── + ─
⎜⎪  7⋅x ⋅⎜- ────────────── - ───────⎟     ⎜             6      5              
⎜⎪       ⎝        7          7⋅x - 7⎠     ⎝          2⋅x  - 2⋅x               
⎜⎪- ───────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────
⎜⎪                  12                                           6            
⎜⎪                                                                            
⎜⎪                                         6                                  
⎜⎨                                        ____                                
⎜⎪                                        ╲                                   
⎜⎪                                         ╲       n                          
⎜⎪                                          ╲   n⋅x                           
⎜⎪                                          ╱  ─────                          
⎜⎪                                         ╱   n + 5                          
⎜⎪                                        ╱                                   
⎜⎪                                        ‾‾‾‾                                
⎜⎪                                       n = 1                                
⎝⎩                                                                            

            ⎞                     ⎞
0⋅log(1 - x)⎟                     ⎟
────────────⎟                     ⎟
      6     ⎟                     ⎟
     x      ⎠                     ⎟
─────────────  for │x│ < 1        ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                          , purple⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                otherwise         ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                                  ⎟
                                  ⎠

⎛⎧                                        ⎛   4      3       2                
⎜⎪                                        ⎜3⋅x  + 5⋅x  + 10⋅x  + 30⋅x - 60   3
⎜⎪     8 ⎛  65⋅Φ(x, 1, 13)      13  ⎞   x⋅⎜─────────────────────────────── + ─
⎜⎪  8⋅x ⋅⎜- ────────────── - ───────⎟     ⎜             6      5              
⎜⎪       ⎝        8          8⋅x - 8⎠     ⎝          2⋅x  - 2⋅x               
⎜⎪- ───────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────
⎜⎪                  13                                           6            
⎜⎪                                                                            
⎜⎪                                         7                                  
⎜⎨                                        ____                                
⎜⎪                                        ╲                                   
⎜⎪                                         ╲       n                          
⎜⎪                                          ╲   n⋅x                           
⎜⎪                                          ╱  ─────                          
⎜⎪                                         ╱   n + 5                          
⎜⎪                                        ╱                                   
⎜⎪                                        ‾‾‾‾                                
⎜⎪                                       n = 1                                
⎝⎩                                                                            

            ⎞                   ⎞
0⋅log(1 - x)⎟                   ⎟
────────────⎟                   ⎟
      6     ⎟                   ⎟
     x      ⎠                   ⎟
─────────────  for │x│ < 1      ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                          , pink⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                otherwise       ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎠

⎛⎧                                        ⎛   4      3       2                
⎜⎪                                        ⎜3⋅x  + 5⋅x  + 10⋅x  + 30⋅x - 60   3
⎜⎪     9 ⎛  70⋅Φ(x, 1, 14)      14  ⎞   x⋅⎜─────────────────────────────── + ─
⎜⎪  9⋅x ⋅⎜- ────────────── - ───────⎟     ⎜             6      5              
⎜⎪       ⎝        9          9⋅x - 9⎠     ⎝          2⋅x  - 2⋅x               
⎜⎪- ───────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────
⎜⎪                  14                                           6            
⎜⎪                                                                            
⎜⎪                                         8                                  
⎜⎨                                        ____                                
⎜⎪                                        ╲                                   
⎜⎪                                         ╲       n                          
⎜⎪                                          ╲   n⋅x                           
⎜⎪                                          ╱  ─────                          
⎜⎪                                         ╱   n + 5                          
⎜⎪                                        ╱                                   
⎜⎪                                        ‾‾‾‾                                
⎜⎪                                       n = 1                                
⎝⎩                                                                            

            ⎞                   ⎞
0⋅log(1 - x)⎟                   ⎟
────────────⎟                   ⎟
      6     ⎟                   ⎟
     x      ⎠                   ⎟
─────────────  for │x│ < 1      ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                          , gray⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                otherwise       ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎟
                                ⎠

⎛⎧                                           ⎛   4      3       2             
⎜⎪                                           ⎜3⋅x  + 5⋅x  + 10⋅x  + 30⋅x - 60 
⎜⎪     10 ⎛  15⋅Φ(x, 1, 15)       15   ⎞   x⋅⎜─────────────────────────────── 
⎜⎪  2⋅x  ⋅⎜- ────────────── - ─────────⎟     ⎜             6      5           
⎜⎪        ⎝        2          10⋅x - 10⎠     ⎝          2⋅x  - 2⋅x            
⎜⎪- ──────────────────────────────────── + ───────────────────────────────────
⎜⎪                   3                                              6         
⎜⎪                                                                            
⎜⎪                                          9                                 
⎜⎨                                         ____                               
⎜⎪                                         ╲                                  
⎜⎪                                          ╲       n                         
⎜⎪                                           ╲   n⋅x                          
⎜⎪                                           ╱  ─────                         
⎜⎪                                          ╱   n + 5                         
⎜⎪                                         ╱                                  
⎜⎪                                         ‾‾‾‾                               
⎜⎪                                        n = 1                               
⎝⎩                                                                            

               ⎞                      ⎞
  30⋅log(1 - x)⎟                      ⎟
+ ─────────────⎟                      ⎟
         6     ⎟                      ⎟
        x      ⎠                      ⎟
────────────────  for │x│ < 1         ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                             , skyblue⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                   otherwise          ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                                      ⎠

⎛⎧                                            ⎛   4      3       2            
⎜⎪                                            ⎜3⋅x  + 5⋅x  + 10⋅x  + 30⋅x - 60
⎜⎪      11 ⎛  80⋅Φ(x, 1, 16)       16   ⎞   x⋅⎜───────────────────────────────
⎜⎪  11⋅x  ⋅⎜- ────────────── - ─────────⎟     ⎜             6      5          
⎜⎪         ⎝        11         11⋅x - 11⎠     ⎝          2⋅x  - 2⋅x           
⎜⎪- ───────────────────────────────────── + ──────────────────────────────────
⎜⎪                    16                                             6        
⎜⎪                                                                            
⎜⎪                                           10                               
⎜⎨                                          ____                              
⎜⎪                                          ╲                                 
⎜⎪                                           ╲       n                        
⎜⎪                                            ╲   n⋅x                         
⎜⎪                                            ╱  ─────                        
⎜⎪                                           ╱   n + 5                        
⎜⎪                                          ╱                                 
⎜⎪                                          ‾‾‾‾                              
⎜⎪                                         n = 1                              
⎝⎩                                                                            

                ⎞                     ⎞
   30⋅log(1 - x)⎟                     ⎟
 + ─────────────⎟                     ⎟
          6     ⎟                     ⎟
         x      ⎠                     ⎟
─────────────────  for │x│ < 1        ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                              , yellow⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                    otherwise         ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                                      ⎟
                                      ⎠

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