2019年8月10日土曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.2(累乗関数、大きさの比較)、問題4の解答を求めてみる。


  1. x a b x

    のとき、

    f n x = 0

    また、

    a < x < b

    のとき、

    f n x = d dx f n - 1 x = d dx R n - 1 x 1 e x - a x - b = d dx R n - 1 x 1 e x - a x - b + R n - 1 x - 1 e 2 x - a x - b e x - a x - b x - b + x - a = R n x 1 e x - a x - b

    よって帰納法により、問題の関数は、

    - ,

    で無限回微分可能である。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, exp, log, solve, Derivative

print('4.')

x, a, b = symbols('x, a, b', real=True)
f = 1 / exp((x - a) * (x - b))
for n in range(5):
    df = Derivative(f, x, n)
    for o in [df, df.doit()]:
        pprint(o.factor())
        print()

g = f.subs({a: -2, b: 3})
p = plot(*[(Derivative(g, x, n).doit(), (x, -2.1, 2.9)) for n in range(3)],
         (0, (x, -5, -2)),
         (0, (x, 3, 5)),
         ylim=(-0, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
   2                
 -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x
ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   

   2                
 -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x
ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   

  ⎛   2                ⎞
∂ ⎜ -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x⎟
──⎝ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   ⎠
∂x                      

                   2                
                 -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x
-(-a - b + 2⋅x)⋅ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   

  2⎛   2                ⎞
 ∂ ⎜ -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x⎟
───⎝ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   ⎠
  2                      
∂x                       

                                                2                
⎛ 2                    2              2    ⎞  -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x
⎝a  + 2⋅a⋅b - 4⋅a⋅x + b  - 4⋅b⋅x + 4⋅x  - 2⎠⋅ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   

  3⎛   2                ⎞
 ∂ ⎜ -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x⎟
───⎝ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   ⎠
  3                      
∂x                       

                                                                2             
                ⎛ 2                    2              2    ⎞  -x   -a⋅b  a⋅x  
-(-a - b + 2⋅x)⋅⎝a  + 2⋅a⋅b - 4⋅a⋅x + b  - 4⋅b⋅x + 4⋅x  - 6⎠⋅ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ

   
b⋅x
   

  4⎛   2                ⎞
 ∂ ⎜ -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x⎟
───⎝ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   ⎠
  4                      
∂x                       

                                                                              
⎛ 4      3        3        2  2       2           2  2       2        3       
⎝a  + 4⋅a ⋅b - 8⋅a ⋅x + 6⋅a ⋅b  - 24⋅a ⋅b⋅x + 24⋅a ⋅x  - 12⋅a  + 4⋅a⋅b  - 24⋅a

                                                                              
  2             2                  3             4      3         2  2       2
⋅b ⋅x + 48⋅a⋅b⋅x  - 24⋅a⋅b - 32⋅a⋅x  + 48⋅a⋅x + b  - 8⋅b ⋅x + 24⋅b ⋅x  - 12⋅b 

                                             2                
         3                4       2     ⎞  -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x
 - 32⋅b⋅x  + 48⋅b⋅x + 16⋅x  - 48⋅x  + 12⎠⋅ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   


C:\Users\...>

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