数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 累乗関数、大きさの比較 - 指数関数、逆数、無限回微分可能性、有理式、帰納法

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.2(累乗関数、大きさの比較)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   $x\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a\vee \; <!--\; logical\; or\; -->b\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x$

   のとき、

   $f^{\left(n\right)}\left(x\right)=0$

   また、

   $a<x<b$

   のとき、

   $\begin{array}{l}{f}^{\left(n\right)}\left(x\right)\\ =\frac{d}{\mathrm{dx}}{f}^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\\ =\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(R_{n-1}\left(x\right)\frac{1}{e^{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}}\right)\\ =\left(\frac{d}{\mathrm{dx}}{R}_{n-1}\left(x\right)\right)\frac{1}{e^{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}}+R_{n-1}\left(x\right)\frac{-1}{e^{2\left(x-a\right)\left(x-b\right)}}{e}^{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}\left(x-b+x-a\right)\\ =R_n\left(x\right)\frac{1}{e^{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}}\end{array}$

   よって帰納法により、問題の関数は、

   $\left(-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->},\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\right)$

   で無限回微分可能である。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, exp, log, solve, Derivative

print('4.')

x, a, b = symbols('x, a, b', real=True)
f = 1 / exp((x - a) * (x - b))
for n in range(5):
    df = Derivative(f, x, n)
    for o in [df, df.doit()]:
        pprint(o.factor())
        print()

g = f.subs({a: -2, b: 3})
p = plot(*[(Derivative(g, x, n).doit(), (x, -2.1, 2.9)) for n in range(3)],
         (0, (x, -5, -2)),
         (0, (x, 3, 5)),
         ylim=(-0, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
   2                
 -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x
ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   

   2                
 -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x
ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   

  ⎛   2                ⎞
∂ ⎜ -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x⎟
──⎝ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   ⎠
∂x                      

                   2                
                 -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x
-(-a - b + 2⋅x)⋅ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   

  2⎛   2                ⎞
 ∂ ⎜ -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x⎟
───⎝ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   ⎠
  2                      
∂x                       

                                                2                
⎛ 2                    2              2    ⎞  -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x
⎝a  + 2⋅a⋅b - 4⋅a⋅x + b  - 4⋅b⋅x + 4⋅x  - 2⎠⋅ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   

  3⎛   2                ⎞
 ∂ ⎜ -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x⎟
───⎝ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   ⎠
  3                      
∂x                       

                                                                2             
                ⎛ 2                    2              2    ⎞  -x   -a⋅b  a⋅x  
-(-a - b + 2⋅x)⋅⎝a  + 2⋅a⋅b - 4⋅a⋅x + b  - 4⋅b⋅x + 4⋅x  - 6⎠⋅ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ

   
b⋅x
   

  4⎛   2                ⎞
 ∂ ⎜ -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x⎟
───⎝ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   ⎠
  4                      
∂x                       

                                                                              
⎛ 4      3        3        2  2       2           2  2       2        3       
⎝a  + 4⋅a ⋅b - 8⋅a ⋅x + 6⋅a ⋅b  - 24⋅a ⋅b⋅x + 24⋅a ⋅x  - 12⋅a  + 4⋅a⋅b  - 24⋅a

                                                                              
  2             2                  3             4      3         2  2       2
⋅b ⋅x + 48⋅a⋅b⋅x  - 24⋅a⋅b - 32⋅a⋅x  + 48⋅a⋅x + b  - 8⋅b ⋅x + 24⋅b ⋅x  - 12⋅b 

                                             2                
         3                4       2     ⎞  -x   -a⋅b  a⋅x  b⋅x
 - 32⋅b⋅x  + 48⋅b⋅x + 16⋅x  - 48⋅x  + 12⎠⋅ℯ   ⋅ℯ    ⋅ℯ   ⋅ℯ   


C:\Users\...>