2019年8月10日土曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題18を求めてみる。


  1. a n + 1 a n = n + 1 n + 1 n + 1 ! 3 n + 1 · n ! 3 n n n = n + 1 n + 1 n + 1 3 n n = n + 1 n 3 n n = 1 3 1 + 1 n n < ε 3 < 1

    よって、 問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, exp, Limit, factorial
import matplotlib.pyplot as plt

print('18.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n ** n / (factorial(n) * 3 ** n), (n, 1, oo))
l = Limit((n + 1) ** (n + 1) / (factorial((n + 1)) * 3 ** (n + 1)) /
          (n ** n / (factorial(n) * 3 ** n)), n, oo)

for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([k ** k / (factorial(k) * 3 ** k) for k in range(2, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 1) ** (n + 1) / (factorial((n + 1)) * 3 ** (n + 1)) /
              (n ** n / (factorial(n) * 3 ** n))
              for n in ns],
         ns, [exp(1) / 3 for _ in ns])

plt.legend(['Σ n^n / n!3^n', 'a_(n+1) / a_n', exp(1) / 3])
plt.savefig('sample18.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample18.py
18.
  ∞         
 ____       
 ╲          
  ╲    -n  n
   ╲  3  ⋅n 
   ╱  ──────
  ╱     n!  
 ╱          
 ‾‾‾‾       
n = 1       

    ⎛ n  -n - 1  -n        n + 1   ⎞
    ⎜3 ⋅3      ⋅n  ⋅(n + 1)     ⋅n!⎟
lim ⎜──────────────────────────────⎟
n─→∞⎝           (n + 1)!           ⎠

ℯ
─
3


c:\Users\...>

0 コメント:

コメントを投稿

関連コンテンツ