2019年8月16日金曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.2(累乗関数、大きさの比較)、問題8の解答を求めてみる。


  1. f x = x α

    とおくと、

    f ' x = α x α - 1 f ' ' x = α α - 1 x α - 2

    よって、

    x > 0 , α > 1

    の とき、

    f ' ' x > 0

    なので凸関数である。

    ゆえに、

    a 1 + + a n n α = f a 1 + + a n n = f 1 n a 1 + + 1 n a n 1 n f a 1 + . . . + 1 n f a n = 1 n a 1 α + + 1 n a n α = a 1 α + + a n α n a 1 + + a n n α a 1 α + + a n α n a 1 + + a n n a 1 α + + a n α n 1 α F 1 F α

    また、

    0 < α 1 < α 2

    とおくと、

    β = α 2 α 1 > 1

    よって、

    a 1 + + a n n β a 1 β + + a n β n a 1 α 1 + + a n α 1 n β a 1 α 2 + + a n α 2 n a 1 α 1 + + a n α 1 n 1 α 1 a 1 α 2 + + a n α 2 n 1 α 2 F α 1 F α 2

    ゆえに、 F は区間

    0 ,

    で単調増加である。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, exp, Limit, Derivative
import random

print('8.')

alpha = symbols('α')
fs = []
for _ in range(10):
    n = random.randrange(1, 11)
    fs.append((sum([(random.random() * 10 + 0.00001) ** alpha
                    for _ in range(n)]) / n) ** (1 / alpha))

p = plot(*fs,
         (alpha, 0.1, 10),
         ylim=(0, 10),
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample8.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample8.py
8.

C:\Users\...>

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