数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 累乗関数、大きさの比較 - 累乗、累乗根、相加平均、単調増加、微分、凸関数、不等式

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.2(累乗関数、大きさの比較)、問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   $f\left(x\right)=x^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}$

   とおくと、

   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}{x}^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-1}\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-1\right)x^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-2}\end{array}$

   よって、

   $x>0,\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}>1$

   の とき、

   $f\text{'}\text{'}\left(x\right)>0$

   なので凸関数である。

   ゆえに、

   $\begin{array}{l}{\left(\frac{a_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n}{n}\right)}^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\\ =f\left(\frac{a_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n}{n}\right)\\ =f\left(\frac{1}{n}{a}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{1}{n}{a}_n\right)\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{n}f\left(a_1\right)+...+\frac{1}{n}f\left(a_n\right)\\ =\frac{1}{n}{a}_1^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{1}{n}{a}_n^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\\ =\frac{a_1^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}{n}\\ {\left(\frac{a_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n}{n}\right)}^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{a_1^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}{n}\\ \frac{a_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n}{n}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left(\frac{a_1^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}{n}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}\\ F\left(1\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->F\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\end{array}$

   また、

   $0<{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1<{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2$

   とおくと、

   $\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}=\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2}{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}>1$

   よって、

   $\begin{array}{l}{\left(\frac{a_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n}{n}\right)}^{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{a_1^{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n^{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}{n}\\ {\left(\frac{a_1^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}}{n}\right)}^{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{a_1^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2}}{n}\\ {\left(\frac{a_1^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}}{n}\right)}^{\frac{1}{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left(\frac{a_1^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2}}{n}\right)}^{\frac{1}{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2}}\\ F\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->F\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_2\right)\end{array}$

   ゆえに、 F は区間

   $\left(0,\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\right)$

   で単調増加である。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, exp, Limit, Derivative
import random

print('8.')

alpha = symbols('α')
fs = []
for _ in range(10):
    n = random.randrange(1, 11)
    fs.append((sum([(random.random() * 10 + 0.00001) ** alpha
                    for _ in range(n)]) / n) ** (1 / alpha))

p = plot(*fs,
         (alpha, 0.1, 10),
         ylim=(0, 10),
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample8.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample8.py
8.

C:\Users\...>