数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 指数関数、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題3を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\underset{1}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}x{e}^{-x^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{\left[-\frac{1}{2}{e}^{-x^2}\right]}_1^b\\ =-\frac{1}{2}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(e^{-b^2}-e^{-1}\right)\\ =\frac{1}{2e}\end{array}$

   よって問題の級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, exp, Integral, plot
import matplotlib.pyplot as plt

print('3.')

n = symbols('n', integer=True)
f = n * exp(-n ** 2)
s = summation(n * exp(-n ** 2), (n, 1, oo))
pprint(s)

I = Integral(f, (n, 1, oo))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f,
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(m)])


ms = range(10)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σne^-n^2'])
plt.savefig('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
  ∞         
 ____       
 ╲          
  ╲        2
   ╲     -n 
   ╱  n⋅ℯ   
  ╱         
 ╱          
 ‾‾‾‾       
n = 1       
∞          
⌠          
⎮      2   
⎮    -n    
⎮ n⋅ℯ    dn
⌡          
1          

 -1
ℯ  
───
 2 


c:\Users\...>