2019年8月15日木曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題2を求めてみる。


  1. a n + 1 a n = n + 2 n + 3 n + 1 ! · n ! n + 2 n + 1 = n + 2 2 n + 1 2 n + 3 n a n + 1 a n 0

    よって問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, Limit, factorial
import matplotlib.pyplot as plt

print('2.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation((n + 1) / ((n + 2) * factorial(n)), (n, 1, oo))
l = Limit(((n + 1) + 1) / (((n + 1) + 2) * factorial(n + 1)) *
          (n + 2) * factorial(n) / (n + 1), n, oo)

for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([(k + 1) / ((k + 2) * factorial(k)) for k in range(2, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [((n + 1) + 1) / (((n + 1) + 2) * factorial(n + 1)) *
              (n + 2) * factorial(n) / (n + 1)
              for n in ns])

plt.legend(['Σ (n + 1) / (n + 2)n!', 'a_(n+1) / a_n'])
plt.savefig('sample2.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
-3/2 + ℯ

    ⎛             2          ⎞
    ⎜      (n + 2) ⋅n!       ⎟
lim ⎜────────────────────────⎟
n─→∞⎝(n + 1)⋅(n + 3)⋅(n + 1)!⎠

1


c:\Users\...>

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