数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 累乗関数、大きさの比較 - 指数関数、有理式、無限回微分可能

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.2(累乗関数、大きさの比較)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0+}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ =\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0+}{\lim }\frac{f\left(h\right)}{h}\\ t=\frac{1}{h}\\ \underset{t\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{t}{e^{t^2}}\\ =0\end{array}$

   同様に、

   $\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0-}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=0$

   また、

   $\begin{array}{l}\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{f^{\left(n-1\right)}\left(0+h\right)-f^{\left(n-1\right)}\left(0\right)}{ch}\\ =\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{f^{\left(n-1\right)}\left(h\right)}{h}\\ =\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }R\left(h\right)e^{\left(-\frac{1}{h^2}\right)}\\ =0\end{array}$

   よって、帰納法により、 f は 0において無限回微分可能で、

   $f^{\left(n\right)}\left(0\right)=0$

   である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, exp, Limit, Derivative

print('6.')

x = symbols('x')
f = exp(-1 / x ** 2)

for d in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=d)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(*[(Derivative(f, x, n).doit(), (x, x1, x2)) for n in range(3)
           for x1, x2 in [(-5, -0.1), (0.1, 5)]],
         (0, (x, -0.1, 0.1)),
         ylim=(-5, 5),
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
      -1 
      ───
        2
       x 
 lim ℯ   
x─→0⁺    

0

      -1 
      ───
        2
       x 
 lim ℯ   
x─→0⁻    

0


C:\Users\...>