2019年8月15日木曜日

学習環境

ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題3の解答を求めてみる。



    1. 特性多項式。

      f t = det t I - A = det [ t - 1 - i - i t + 2 ] = t 2 + t - 2 + 1 = t 2 + t - 1

      固有値。

      t 2 + t - 1 = 0 t = - 1 ± 1 + 4 2 = - 1 ± 5 2

      それぞれの固有値をもつ固有ベクトル。

      { t - 1 x - i y = 0 - i x + t + 2 y = 0 - 3 ± 5 2 x - i y = 0 2 , 3 5 i

    2. f t = det [ t - 1 - i i t - 1 ] = t 2 - 2 t + 1 - 1 = t t - 2 t = 0 , 2 { t - 1 x - i y = 0 i x + t - 1 y = 0 t = 0 { - x - i y = 0 i x - y = 0 1 , i t = 2 { x - i y = 0 i x + y = 0 1 , - i

    3. f t = t - 1 t - 2 t = 1 , 2 { t - 1 x - 2 i y = 0 t - 2 y = 0 t = 1 1 , 0 t = 2 x - 2 i y = 0 2 i , 1

    4. f t = t - 2 t - 3 - 20 = t 2 - 5 t - 14 = t - 7 t + 2 t = - 2 , 7 { t - 2 x - 4 y = 0 - 5 x + t - 3 y = 0 t = - 2 { - 4 x - 4 y = 0 - 5 x - 5 y = 0 1 , 1 t = 7 { 5 x - 4 y = 0 - 5 x + 4 y = 0 4 , 5

    5. f t = t - 1 t + 2 - 4 = t 2 + t - 6 = t + 3 t - 2 t = - 3 , 2 { t - 1 x - 2 y = 0 - 2 x + t + 2 y = 0 t = - 3 { - 4 x - 2 y = 0 - 2 x - y = 0 1 , - 2 t = 2 { x - 2 y = 0 - 2 x + 4 y = 0 2 , 1

    6. f t = t - 3 2 + 4 = t 2 - 6 t + 13 t = 3 ± 9 - 13 = 3 ± 2 i { t - 3 x - 2 y = 0 2 x + t - 3 y = 0 t = 3 + 2 i { 2 i x - 2 y = 0 2 x + 2 i y = 0 1 , i t = 3 - 2 i { - 2 i x - 2 y = 0 2 x - 2 i y = 0 1 , - i

    7. f t = t + 1 t - 2 t + 6 + 12 + 24 + t + 1 12 - 4 t + 6 + 6 t - 2 = t 2 - t - 2 t + 6 + 36 + 12 t + 12 - 4 t - 24 + 6 t - 12 = t 3 + 5 t 2 - 8 t - 12 + 12 + 14 t = t 3 + 5 t 2 + 6 t = t t 2 + 5 t + 6 = t t + 2 t + 3 t = - 3 , - 2 , 0 { t + 1 x - 2 y - 2 z = 0 - 2 x + t - 2 y - 2 z = 0 3 x + 6 y + t + 6 z = 0 t = - 3 { - 2 x - 2 y - 2 z = 0 - 2 x - 5 y - 2 z = 0 3 x + 6 y + 3 z = 0 z = - x - y - 3 y = 0 y = 0 z = - x 1 , 0 , - 1 t = - 2 { - x - 2 y - 2 z = 0 - 2 x - 4 y - 2 z = 0 3 x + 6 y + 4 z = 0 x = - 2 y - 2 z 2 z = 0 z = 0 x = - 2 y - 2 , 1 , 0 t = 0 { x - 2 y - 2 z = 0 - 2 x - 2 y - 2 z = 0 3 x + 6 y + 6 z = 0 x = y + z y + z + 2 y + 2 z = 0 y + z = 0 0 , 1 , - 1

    8. f t = t - 3 t - 1 t + 1 - t - 3 2 = t - 3 t 2 - 1 - 2 = t - 3 t 2 - 3 t = ± 3 , 3 { t - 3 x - 2 y - z = 0 t - 1 y - 2 z = 0 - y + t + 1 z = 0 t = - 3 { - 3 - 3 x - 2 y - z = 0 - 3 - 1 y - 2 z = 0 - y + - 3 + 1 z = 0 z = - 3 + 1 2 y - 3 - 3 x - 2 y + 3 + 1 2 y = 0 2 - 3 - 3 x - 4 y + 3 + 1 y = 0 2 - 3 - 3 x + 3 - 3 y = 0 x = 3 - 3 2 3 + 3 y z = - 3 + 1 2 · 2 3 + 3 = - 3 + 1 3 + 3 = - 4 3 - 6 = - 2 3 + 1 3 - 3 , 2 3 + 3 , - 2 3 + 1 t = 3 { 3 - 3 x - 2 y - z = 0 3 - 1 y - 2 z = 0 - y + 3 + 1 z = 0 y = 3 + 1 z 3 - 3 x - 2 3 + 1 z - z = 0 3 - 3 x + - 2 3 - 3 z = 0 x = 2 3 + 3 3 - 3 z y = 3 + 1 3 - 3 = 3 - 3 - 2 3 = - 2 3 2 3 + 3 , - 2 3 , 3 - 3 t = 3 { - 2 y - z = 0 2 y - 2 z = 0 - y + 4 z = 0 1 , 0 , 0

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, eye

print('3.')

print('(g)')

t = symbols('t')
I3 = eye(3)
A = Matrix([[-1, 2, 2],
            [2, 2, 2],
            [-3, -6, -6]])

f = (t * I3 - A).det()

for o in [f, f.factor()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
(g)
14⋅t + (t - 2)⋅(t + 1)⋅(t + 6) + 12

t⋅(t + 2)⋅(t + 3)


C:\Users\...>

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