2019年8月27日火曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題12-(e)を求めてみる。



    1. log x 3 x 2 dx = - x - 1 log x 3 + x - 1 3 log x 2 · x - 1 dx = - x - 1 log x 3 + 3 x - 2 log x 2 dx x - 2 log x 2 d x = - x - 1 log x 2 + x - 1 2 log x x - 1 dx = - x - 1 log x 3 + 2 x - 2 log x d x x - 2 log x d x = - x - 1 log x + x - 1 · x - 1 dx = - x - 1 log x + x - 2 d x = - x - 1 log x - x - 1 = - x - 1 log x + 1 - x - 1 log x 3 - 2 x - 1 log x + 1 = - x - 1 log x 3 + 2 log x + 2 - x - 1 log x 3 - 3 x - 1 log x 3 + 2 log x + 2 = - x - 1 log x 3 + 3 log x 3 + 6 log x + 6 = - x - 1 4 log x 3 + 6 log x + 6

      よって、

      lim b 1 b log x 3 x 2 dx = lim b - x - 1 4 log x 3 + 6 log x + 6 1 b = lim b - b - 1 4 log b 3 + 6 log b + 6 + 6 = 6

      ゆえに、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, log
from sympy import Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('12-(e).')

n = symbols('n')
epsilon = symbols('ε', positive=True)
f = log(n) ** 3 / n ** 2
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

d = {epsilon: 0.00001}
p = plot(f.subs(d),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample12.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}).subs(d) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ (log n)^3 / n^2'])
plt.savefig('sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12-(e).
  ∞          
_____        
╲            
 ╲       3   
  ╲   log (n)
   ╲  ───────
   ╱      2  
  ╱      n   
 ╱           
╱            
‾‾‾‾‾        
n = 1        

∞           
⌠           
⎮    3      
⎮ log (n)   
⎮ ─────── dn
⎮     2     
⎮    n      
⌡           
1           

6


c:\Users\...>

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