数学 - 解析学 - ルベーグ積分 - 外測度 - 開区間、開集合、和集合、累乗(べき乗、平方)、零

はじめてのルベーグ積分
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はじめてのルベーグ積分 (寺澤 順(著)、日本評論社)の第3章(外測度)、問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{l}\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0\\ S\subset \; <!--\; subset\; of\; -->O\subset \; <!--\; subset\; of\; -->\left(0,1\right)\\ {\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(O\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(S\right)+\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}=\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}\end{array}$

   を満たす開集合 O をとる。

   この開集合を互いに素な開 区間の和集 合として表す。

   $\begin{array}{l}O=U\left(u_i,v_i\right)\\ S\subset \; <!--\; subset\; of\; -->O\end{array}$

   これについて、

   $A\subset \; <!--\; subset\; of\; -->U\left(u_i^2,v_i^2\right)$

   が成り立つ。

   よって、

   $\begin{array}{l}{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(A\right)\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(U\left(u_i^2,v_i^2\right)\right)\\ =\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\left(v_i^2-u_i^2\right)\\ =\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\left(v_i+u_i\right)\left(v_i-u_i\right)\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\left(v_i-u_i\right)\\ =2{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(U\left(u_i,v_i\right)\right)\\ =2{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(O\right)\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}\\ =\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\end{array}$

   ゆえに、

   ${\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(A\right)=0$

   となる。

   （証明終）