本 - 日本評論社( @nippyo ) - 寺澤 順(著) - はじめてのルベーグ積分 - 位相(開集合、閉集合)が役立つ場面 - 外測度 - 閉集合でない区間、コンパクトかどうか

はじめてのルベーグ積分
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はじめてのルベーグ積分 (寺澤 順(著)、日本評論社)を入手した理由、そして第3章(外測度)まで読んだ感想、そして第3章の問題1の解答を求めてみる。

微分積分 最高の教科書を読んでルベーグ積分に興味持つ。それがルベーグ積分の本を入手したきっかけ。

本著を選択したのは、Wikipediaのルベーグ積分の関連文献の中で、タイトルを見た限り、一番簡単そうだったから。それだけの理由だから、ルベーグ積分の入門に適してるかどうかは分からず。しかも、他も特に何も考えずに入手したから、前提知識が足りるかどうかも分からず。新しいことを始める時はとりあえず勢いを大切に。(完全にルベーグ積分が初耳というわけではないけど。)

勢いを重要にしてるといいつつも、全然分からないと不安があったけど、第3章(外測度)まで読んだ感じだと、前提知識等、特に問題なかった。実数とか開集合、閉集合の話等、解析集合・位相の入門に出てくるような感じの範囲の内容。ただ、ルベーグ積分に必要な部分のみを取り出した感じだから、実数、集合、位相に関してもっと知りたいという人は、それ専用の本を入手したほうが良さそう。

逆に、集合、位相、特に開集合等について詳しく知ってるけど、実際にそれがどのように役立つかということを知りたいという人には、ルベーグ積分で役立つことがわかるから最適な一冊になりそう。私自身はこちらで、実数、位相、開集合・閉集合についてルベーグ積分に必要な部分しか解説がないにも関わらず、理解が深まった気がしたり。

読むのにちょっと大変だと感じた部分としては、これまで読んだ集合・位相の本と記号が若干違ったこと。本著のほうが出版日が新しいから、より現代数学の記号の使い方に沿ってるのかも。(新しいとか関係なく沿ってない可能性もあるけど。

何れにしても、深く考えずに勢いを重視して本著を入手したけど、既に十分満足してたり。

ということで、早速第3章(外測度)の問題1の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l}\left(u+\frac{1}{n},v+\frac{1}{n}\right)\\ n=1,2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\end{array}$

という開区間の列を考えると、 無限個の和集合について、

$\left(u,v\right]\subset \; <!--\; subset\; of\; -->U_{n=1}^{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}\left(u+\frac{1}{n},v+\frac{1}{n}\right)$

となり、問題の閉集合でない区間は無限個の開集合の和集合に含まれるが、 その有限個の和集合で問題の閉集合でない区間を含むものは存在しない。