2019年7月31日水曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題11の解答を求めてみる。



    1. d dx e - x 2 = - 2 x e - x 2 = - 1 2 x e - x 2 d 2 dx 2 e - x 2 = - 1 2 e - x 2 + 2 x - 2 x e - x 2 = - 1 2 + 2 x - 2 x e - x 2 = - 1 2 2 2 x 2 - 2 e - x 2 d 3 dx 3 e - x 2 = - 1 2 2 3 x e - x 2 + 2 2 x 2 - 2 - 2 x e - x 2 = - 1 2 2 3 x + 2 2 x 2 - 2 - 2 x e - x 2 = - 1 3 - 2 3 x + 2 4 x 3 - 2 2 x e - x 2 = - 1 3 2 4 x 3 - 2 3 + 2 2 x e - x 2

      また、

      d n dx n e - x 2 = d dx d n - 1 dx n - 1 e - x 2 = d dx - 1 n - 1 H n - 1 x e - x 2 = - 1 n - 1 d dx H n - 1 x e - x 2 + H n - 1 x - 2 x e - x 2 = - 1 n 2 x H n - 1 x + d dx H n - 1 x e - x 2

      よって、帰納法により、

      H n x

      は n 次の多項式で、 n が奇数ならば、奇関数、nが偶数ならば偶関数である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, exp, Derivative

print('11.')

x = symbols('x')
f = exp(-x ** 2)
fns = [Derivative(f, x, n).doit() for n in range(6)]

for n, fn in enumerate(fns):
    print(f'n = {n}')
    pprint(fn)
    print()

p = plot(*fns,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample10.py
11.
n = 0
   2
 -x 
ℯ   

n = 1
        2
      -x 
-2⋅x⋅ℯ   

n = 2
                2
  ⎛   2    ⎞  -x 
2⋅⎝2⋅x  - 1⎠⋅ℯ   

n = 3
                  2
    ⎛       2⎞  -x 
4⋅x⋅⎝3 - 2⋅x ⎠⋅ℯ   

n = 4
                        2
  ⎛   4       2    ⎞  -x 
4⋅⎝4⋅x  - 12⋅x  + 3⎠⋅ℯ   

n = 5
                             2
    ⎛     4       2     ⎞  -x 
8⋅x⋅⎝- 4⋅x  + 20⋅x  - 15⎠⋅ℯ   


C:\Users\...>

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