数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数 - 微分、帰納法、多項式、奇関数、偶関数

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題11の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \frac{d}{dx} e^{- x^{2}} \\ = - 2 x e^{- x^{2}} \\ = (- 1) (2 x) e^{- x^{2}} \\ \frac{d^{2}}{{dx}^{2}} e^{- x^{2}} \\ = (- 1) (2 e^{- x^{2}} + 2 x (- 2 x e^{- x^{2}})) \\ = (- 1) (2 + 2 x (- 2 x)) e^{- x^{2}} \\ = {(- 1)}^{2} (2^{2} x^{2} - 2) e^{- x^{2}} \\ \frac{d^{3}}{{dx}^{3}} e^{- x^{2}} \\ = {(- 1)}^{2} (2^{3} x e^{- x^{2}} + (2^{2} x^{2} - 2) (- 2 x e^{- x^{2}})) \\ = {(- 1)}^{2} (2^{3} x + (2^{2} x^{2} - 2) (- 2 x)) e^{- x^{2}} \\ = {(- 1)}^{3} (- 2^{3} x + 2^{4} x^{3} - 2^{2} x) e^{- x^{2}} \\ = {(- 1)}^{3} (2^{4} x^{3} - (2^{3} + 2^{2}) x) e^{- x^{2}} \end{array}$
  
  また、
  
  $\begin{array}{l} \frac{d^{n}}{{dx}^{n}} e^{- x^{2}} \\ = \frac{d}{dx} \frac{d^{n - 1}}{{dx}^{n - 1}} (e^{- x^{2}}) \\ = \frac{d}{dx} ({(- 1)}^{n - 1} H_{n - 1} (x) e^{- x^{2}}] \\ = {(- 1)}^{n - 1} ((\frac{d}{dx} H_{n - 1} (x)) e^{- x^{2}} + H_{n - 1} (x) (- 2 x e^{- x^{2}})) \\ = {(- 1)}^{n} (2 x H_{n - 1} (x) + \frac{d}{dx} H_{n - 1} (x)) e^{- x^{2}} \end{array}$
  
  よって、帰納法により、
  
  $H_{n} (x)$
  
  は n 次の多項式で、 n が奇数ならば、奇関数、nが偶数ならば偶関数である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, exp, Derivative

print('11.')

x = symbols('x')
f = exp(-x ** 2)
fns = [Derivative(f, x, n).doit() for n in range(6)]

for n, fn in enumerate(fns):
    print(f'n = {n}')
    pprint(fn)
    print()

p = plot(*fns,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample10.py
11.
n = 0
   2
 -x 
ℯ   

n = 1
        2
      -x 
-2⋅x⋅ℯ   

n = 2
                2
  ⎛   2    ⎞  -x 
2⋅⎝2⋅x  - 1⎠⋅ℯ   

n = 3
                  2
    ⎛       2⎞  -x 
4⋅x⋅⎝3 - 2⋅x ⎠⋅ℯ   

n = 4
                        2
  ⎛   4       2    ⎞  -x 
4⋅⎝4⋅x  - 12⋅x  + 3⎠⋅ℯ   

n = 5
                             2
    ⎛     4       2     ⎞  -x 
8⋅x⋅⎝- 4⋅x  + 20⋅x  - 15⎠⋅ℯ   


C:\Users\...>

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2019年7月31日水曜日

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