数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 平方根、累乗(べき乗、立方)、指数関数、極限、収束

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題8を求めてみる。

8. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{a_{n+1}}{a_n}\\ =\frac{\sqrt{{\left(n+1\right)}^3+1}}{e^{n+1}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{e^n}{\sqrt{n^3+1}}\\ =\frac{1}{e}\sqrt{\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^3+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^3}}}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^3+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{1}{n^3}}=1\\ \frac{a_{n+1}}{a_n}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{e}\\ <1\end{array}$

   よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, sqrt, exp, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('8.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(sqrt(n ** 3 + 1) / exp(n), (n, 1, oo))
l = Limit(sqrt(((n + 1) ** 3 + 1) / (n ** 3 + 1)) / exp(1), n, oo)
for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([1 / sqrt(k * (k + 1)) for k in range(1, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [sqrt(((n + 1) ** 3 + 1) / (n ** 3 + 1)) / exp(1) for n in ns],
         ns, [1 / exp(1) for _ in ns])

plt.legend(['Σ 1 / √n * (n + 1)', 'an+1 / an', 1 / exp(1)])
plt.savefig('sample8.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample8.py
8.
  ∞                  
 ____                
 ╲                   
  ╲      ________    
   ╲    ╱  3       -n
   ╱  ╲╱  n  + 1 ⋅ℯ  
  ╱                  
 ╱                   
 ‾‾‾‾                
n = 1                

    ⎛      ______________    ⎞
    ⎜     ╱        3         ⎟
    ⎜    ╱  (n + 1)  + 1   -1⎟
lim ⎜   ╱   ──────────── ⋅ℯ  ⎟
n─→∞⎜  ╱        3            ⎟
    ⎝╲╱        n  + 1        ⎠

 -1
ℯ  


c:\Users\...>