2019年7月31日水曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題8を求めてみる。


  1. a n + 1 a n = n + 1 3 + 1 e n + 1 · e n n 3 + 1 = 1 e 1 + 1 n 3 + 1 n 1 + 1 n 3 lim n 1 + 1 n 3 + 1 n 3 1 + 1 n 3 = 1 a n + 1 a n 1 e < 1

    よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, sqrt, exp, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('8.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(sqrt(n ** 3 + 1) / exp(n), (n, 1, oo))
l = Limit(sqrt(((n + 1) ** 3 + 1) / (n ** 3 + 1)) / exp(1), n, oo)
for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([1 / sqrt(k * (k + 1)) for k in range(1, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [sqrt(((n + 1) ** 3 + 1) / (n ** 3 + 1)) / exp(1) for n in ns],
         ns, [1 / exp(1) for _ in ns])

plt.legend(['Σ 1 / √n * (n + 1)', 'an+1 / an', 1 / exp(1)])
plt.savefig('sample8.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample8.py
8.
  ∞                  
 ____                
 ╲                   
  ╲      ________    
   ╲    ╱  3       -n
   ╱  ╲╱  n  + 1 ⋅ℯ  
  ╱                  
 ╱                   
 ‾‾‾‾                
n = 1                

    ⎛      ______________    ⎞
    ⎜     ╱        3         ⎟
    ⎜    ╱  (n + 1)  + 1   -1⎟
lim ⎜   ╱   ──────────── ⋅ℯ  ⎟
n─→∞⎜  ╱        3            ⎟
    ⎝╲╱        n  + 1        ⎠

 -1
ℯ  


c:\Users\...>

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