数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数 - 直線、不等式、等号、導関数、2階微分

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{l}x>0\\ f\left(x\right)=x-1-\log x\\ f\text{'}\left(x\right)=1-\frac{1}{x}\\ f^{\left(2\right)}\left(x\right)=\frac{1}{x^2}>0\\ f\text{'}\left(1\right)=0\end{array}$

   よって、 f は 1で最小値0をとる。

   ゆえに、

   $x-1\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\log x$

   となり、 等号が成り立つのは x が1のときである。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, Derivative, log

print('2.')


a, x = symbols('a, x')
l = x - 1
r = log(x)
f = l - r

for n in range(1, 3):
    d = Derivative(f, x, n)
    for o in [d, d.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(l, r, f,
         (x, 0.1, 11.1),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
d                 
──(x - log(x) - 1)
dx                

    1
1 - ─
    x

  2                
 d                 
───(x - log(x) - 1)
  2                
dx                 

1 
──
 2
x 


C:\Users\...>