数学 - Python - 図形と数や式の関係 - 平面図形と式 - 円と軌跡 - 円の接線 - 直線の方程式の解法、判別式、重解、点と直線の距離

新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と和也式の関係 - 平面図形と式)、6.3(円と軌跡)、円の接線の問25の解答を求めてみる。

25. 
    
    2. 
       

       求める直線の方程式を

       $y=mx+n$

       とおくと、

       $\begin{array}{l}{x}^2+{\left(mx+n\right)}^2=r^2\\ \left(m^2+1\right)x^2+2mnx+n^2-r^2=0\end{array}$

       円の接線なので判別式について、

       $\begin{array}{l}\frac{D}{4}={\left(mn\right)}^2-\left(m^2+1\right)\left(n^2-r^2\right)=0\\ m^2{r}^2-n^2+r^2=0\\ n^2=\left(m^2+1\right)r^2\\ n=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->r\sqrt{m^2+1}\end{array}$

       よって、直線の方程式は、

       $y=mx\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->r\sqrt{m^2+1}$
    3. 
       

       問題の円と接線の距離は r なので、

       $\begin{array}{l}\frac{\left|n\right|}{\sqrt{m^2+1^2}}=r\\ \left|n\right|=r\sqrt{m^2+1}\\ n=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->r\sqrt{m^2+1}\end{array}$

       よって 求める直線の方程式は、

       $y=mx\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->r\sqrt{m^2+1}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, solve, sqrt

print('25.')

m, n = symbols('m, n', real=True)
r = symbols('r', positive=True)
eq = (m * n) ** 2 - (m ** 2 + 1) * (n ** 2 - r ** 2)
for o in [eq, solve(eq, n)]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample25.py
25.
 2  2   ⎛ 2    ⎞ ⎛ 2    2⎞
m ⋅n  - ⎝m  + 1⎠⋅⎝n  - r ⎠

⎡      ________       ________⎤
⎢     ╱  2           ╱  2     ⎥
⎣-r⋅╲╱  m  + 1 , r⋅╲╱  m  + 1 ⎦


C:\Users\...>