数学 - Python - 解析学 - 級数 - 正項級数 - 無限級数、累乗(べき乗、平方、立方)、発散、比較

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、2(正項級数)の練習問題7を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{l}n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->2\\ \frac{n^2}{n^3+n+2}\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{n^2}{n^3+n^3+n^3}\\ =\frac{1}{3n}\end{array}$

   また、

   $\frac{1}{3}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n}$

   は発散するので、問題の無限級数は発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo
import matplotlib.pyplot as plt

print('7.')

n = symbols('n', integer=True)
s1 = summation(n ** 2 / (n ** 3 + n + 2), (n, 1, oo))
s2 = summation(1 / (3 * n), (n, 1, oo))
for s in [s1, s2]:
    pprint(s)
    print()


def f(n):
    return sum([k ** 2 / (k ** 3 + k + 2) for k in range(1, n + 1)])


def g(n):
    return sum([1 / (3 * k) for k in range(1, n + 1)])


ns = range(1, 21)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [g(n) for n in ns])

plt.legend(['Σ n^2 / (n^3 + n + 2)', 'Σ 1 / n'])
plt.savefig('sample7.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
  ∞             
_____           
╲               
 ╲         2    
  ╲       n     
   ╲  ──────────
   ╱   3        
  ╱   n  + n + 2
 ╱              
╱               
‾‾‾‾‾           
n = 1           

∞


C:\Users\...>