数学 - Python - 解析学 - 級数 - 正項級数 - 無限級数、三角関数(余弦)、絶対値、累乗(べき乗、平方)、比較、収束

解析入門 原書第3版
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、2(正項級数)の練習問題9を求めてみる。

9. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{\left|\cos n\right|}{n^2+n}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{n^2+n}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{n^2}\end{array}$

   また、

   $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n^2}$

   は収束する。

   よって 問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, cos
import matplotlib.pyplot as plt

print('9.')

n = symbols('n', integer=True)
s1 = summation(abs(cos(n)) / (n ** 2 + 1), (n, 1, oo))
s2 = summation(1 / n ** 2, (n, 1, oo))
for s in [s1, s2]:
    pprint(s)
    print()


def f(n):
    return sum([abs(cos(k)) / (k ** 2 + 1) for k in range(1, n + 1)])


def g(n):
    return sum([1 / k ** 2 for k in range(1, n + 1)])


ns = range(1, 21)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [g(n) for n in ns])

plt.legend(['Σ |cos n| / (n^2 + 1)', 'Σ 1 / n^2'])
plt.savefig('sample9.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample9.py
9.
  ∞           
 ____         
 ╲            
  ╲   │cos(n)│
   ╲  ────────
   ╱    2     
  ╱    n  + 1 
 ╱            
 ‾‾‾‾         
n = 1         

 2
π 
──
6 


C:\Users\...>