数学 - 線形代数学 - 行列と双線形写像 - 2次形式 - 2次形式を生じる対象双線形形式の決定、公式、一意性

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の8章(行列と双線形写像)、2(2次形式)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   問題の仮定より、

   $\begin{array}{l}g\left(v,v\right)\\ =f\left(v+v\right)-f\left(v\right)-f\left(v\right)\\ =f\left(2v\right)-2f\left(v\right)\\ =4f\left(v\right)-2f\left(v\right)\\ =2f\left(v\right)\\ f\left(v\right)=\frac{1}{2}g\left(v,v\right)\end{array}$

   が成り立つ。

   また、 g は双線形で、

   $g\left(w,v\right)=g\left(v,w\right)$

   なので、対称双線形である。

   よって、

   $\frac{1}{2}g\left(v,w\right)$

   は対称双線形である。

   ゆえに、 f は2次形式である。

   また、 h を f を生じる双線形形式とすると、

   $\begin{array}{l}f\left(v\right)=h\left(v,v\right)\\ g\left(v,w\right)=h\left(v+w,v+w\right)-h\left(v,v\right)-h\left(w,w\right)\\ =h\left(v,v\right)+h\left(v,w\right)+h\left(w,v\right)+h\left(w,w\right)-h\left(v,v\right)-h\left(w,w\right)\\ =h\left(v,w\right)+h\left(w,v\right)\\ =h\left(v,w\right)+h\left(v,w\right)\\ =2h\left(v,w\right)\\ h\left(v,w\right)=\frac{1}{2}g\left(v,w\right)\end{array}$

   よって、 f て生じる双線形形式は一意的に定まる。

   （証明終）