2019年7月22日月曜日

学習環境

ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の8章(行列と双線形写像)、2(2次形式)、練習問題1の解答を求めてみる。


  1. 問題の仮定より、

    g v , v = f v + v - f v - f v = f 2 v - 2 f v = 4 f v - 2 f v = 2 f v f v = 1 2 g v , v

    が成り立つ。

    また、 g は双線形で、

    g w , v = g v , w

    なので、対称双線形である。

    よって、

    1 2 g v , w

    は対称双線形である。

    ゆえに、 f は2次形式である。

    また、 h を f を生じる双線形形式とすると、

    f v = h v , v g v , w = h v + w , v + w - h v , v - h w , w = h v , v + h v , w + h w , v + h w , w - h v , v - h w , w = h v , w + h w , v = h v , w + h v , w = 2 h v , w h v , w = 1 2 g v , w

    よって、 f て生じる双線形形式は一意的に定まる。

    (証明終)

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