数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数 - 逆数、定数、不等式、平均値の定理

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   平均値の定理より、

   $\begin{array}{l}\frac{\log \frac{x+1}{x}}{\frac{1}{x}}\\ =\frac{\log \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\\ =\frac{\log \left(1+\frac{1}{x}\right)-\log 1}{\frac{1}{x}}\\ =\frac{1}{c}\\ 1<c<1+\frac{1}{x}\end{array}$

   を満たす c が存在する。

   よって、

   $\begin{array}{l}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}<\frac{\log \frac{x+1}{x}}{\frac{1}{x}}<1\\ \frac{1}{x}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{1+\frac{1}{x}}<\log \frac{x+1}{x}<\frac{1}{x}\\ \frac{1}{x+1}<\log \frac{x+1}{x}<\frac{1}{x}\end{array}$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, log

print('4.')


x = symbols('x')
l = 1 / (x + 1)
c = log((x + 1) / x)
r = 1 / x

for o in [l, c, r]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(l, c, r,
         (x, 0.1, 5.1),
         ylim=(0, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
  1  
─────
x + 1

   ⎛x + 1⎞
log⎜─────⎟
   ⎝  x  ⎠

1
─
x


C:\Users\...>