数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 対数関数、発散、微分

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題3を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \frac{\log n}{\log (n + 1)} \\ \frac{\frac{d}{d n} \log n}{\frac{d}{d n} \log (n + 1)} \\ = \frac{n + 1}{n} \\ = 1 + \frac{1}{n} \\ \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1 \end{array}$

よって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1$

ゆえに、

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < c \\ 0 < c < 1 \end{array}$

を満たす c は存在しないので、問題の無限級数は発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, log, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('3.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(log(n) / log(n + 1), (n, 2, oo))
l = Limit(log(n) / log(n + 1), n, oo)
for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([log(k) / log(k + 1) for k in range(2, n + 1)])


ns = range(2, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [log(n) / log(n + 1) for n in ns],
         ns, [1 for _ in ns])

plt.legend(['Σ log(n) / log(n + 1)', 'log(n) / log(n + 1)', 1])
plt.savefig('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
  ∞             
 ____           
 ╲              
  ╲     log(n)  
   ╲  ──────────
   ╱  log(n + 1)
  ╱             
 ╱              
 ‾‾‾‾           
n = 2           

    ⎛  log(n)  ⎞
lim ⎜──────────⎟
n─→∞⎝log(n + 1)⎠

1


C:\Users\...>

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2019年7月26日金曜日

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