数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数 - 微分方程式、積の微分、定数関数、合成関数

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   1. 
      
      $g\left(x\right)=f\left(x\right)e^{-kx}$

      とおくと

      $\begin{array}{l}g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)e^{-kx}+f\left(x\right)\left(-k\right)e^{-kx}\\ =kf\left(x\right)e^{-kx}-kf\left(x\right)e^{-kx}\\ =0\end{array}$

      よって、 g は定数関数なので、 C をある 定数として、

      $\begin{array}{l}C=f\left(x\right)e^{-kx}\\ f\left(x\right)=C{e}^{kx}\end{array}$

      である。

      （証明終）

   2. 
      
      $g\left(x\right)=f\left(x\right)e^{-\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(x\right)}$

      となくと、

      $\begin{array}{l}g\text{'}\left(x\right)\\ =f\text{'}\left(x\right)e^{-\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(x\right)}-f\left(x\right)\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\text{'}\left(x\right)e^{-\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(x\right)}\\ =\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\text{'}\left(x\right)f\left(x\right)e^{-\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(x\right)}-f\left(x\right)\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\text{'}\left(x\right)e^{-\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(x\right)}\\ =0\end{array}$

      よって、 g は定数関数である。

      ゆえに、ある定数 C が存在して、

      $\begin{array}{l}C=f\left(x\right)e^{-\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(x\right)}\\ f\left(x\right)=C{e}^{\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(x\right)}\end{array}$

      が成り立つ。

      （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Derivative, exp

print('7.')

x = symbols('x')
k = 2
C = 3
f = C * exp(k * x)
d = Derivative(f, x, 1)
for o in [d, d.doit(), d.doit() == k * f]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, d.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(0, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample7.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
d ⎛   2⋅x⎞
──⎝3⋅ℯ   ⎠
dx        

   2⋅x
6⋅ℯ   

True


C:\Users\...>