数学 - 解析学 - ルベーグ積分 - 外測度 - 高々可算な階空間、互いに素、和集合、下限

はじめてのルベーグ積分
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はじめてのルベーグ積分 (寺澤 順(著)、日本評論社)の第3章(外測度)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   $U_n=v_n-u_n$

   とおくと右辺の集合は、

   $\begin{array}{l}\left\{\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{U}_n:U\subset \; <!--\; subset\; of\; -->U_{n=1}^{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{U}_n\right\}\\ =\left\{\underset{n=1}{\overset{N}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}\left(U_n\right):U\subset \; <!--\; subset\; of\; -->U_{n=1}^{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(U_n\right)\right\}\end{array}$

   この下限は、

   $U=U_{n=1}^{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(U_n\right)$

   で、 各

   $U_n\left(n=1,2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\right)$

   が互いに素のときである。

   このことと、補題3.2から

   問題の

   $\begin{array}{l}{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(U\right)<\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\\ {\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(U\right)=inf\left\{\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(v_n-u_n\right):U\subset \; <!--\; subset\; of\; -->U_{n=1}^n\left(u_n,v_n\right)\right\}\end{array}$

   が成り立つ。

   （証明終）