数学 - 解析学 - 微分法 - 関数の凹凸 - 第2次導関数、変曲点、極値、接戦とグラフの位置関係

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.3(関数の凹凸)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   変曲点 P における接線は、

   $y=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$

   関数 g を

   $\begin{array}{l}g\left(x\right)=f\left(x\right)-\left(f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)\right)\\ =f\left(x\right)-f\left(a\right)-f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)\end{array}$

   とおく。 導関数は、

   $g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-f\text{'}\left(a\right)$

   よって、

   $g\text{'}\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)-f\text{'}\left(a\right)=0$

   このことと問題の第2次導関数についての仮定より、g は a で極小となる。

   ゆえに、 P の近くの

   $x<a$

   の部分では、

   $\begin{array}{l}g\left(x\right)<g\left(a\right)\\ f\left(x\right)<f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)\end{array}$

   また、

   $x>a$

   の部分では、

   $\begin{array}{l}g\left(x\right)>g\left(a\right)\\ f\left(x\right)>f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)\end{array}$

   よって、 P の近くの各部分でグラフは接線より下方、上方にある。

   （証明終）