2019年7月8日月曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.3(関数の凹凸)、問題4の解答を求めてみる。


  1. 変曲点 P における接線は、

    y = f ' a x - a + f a

    関数 g を

    g x = f x - f ' a x - a + f a = f x - f a - f ' a x - a

    とおく。 導関数は、

    g ' x = f ' x - f ' a

    よって、

    g ' a = f ' a - f ' a = 0

    このことと問題の第2次導関数についての仮定より、g は a で極小となる。

    ゆえに、 P の近くの

    x < a

    の部分では、

    g x < g a f x < f a + f ' a x - a

    また、

    x > a

    の部分では、

    g x > g a f x > f a + f ' a x - a

    よって、 P の近くの各部分でグラフは接線より下方、上方にある。

    (証明終)

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