数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(余弦)、累乗(べき乗、立方)、階乗、差、商、極限

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題40、41の解答を求めてみる。

40. 
    
    $\begin{array}{l}f\left(x\right)=\cos x-1+\frac{x^2}{2!}\\ f\text{'}\left(x\right)=-\sin x+x\\ f^{\left(2\right)}\left(x\right)=-\cos x+1\\ f^{\left(3\right)}\left(x\right)=\sin x\\ f^{\left(4\right)}\left(x\right)=\cos x\\ f^{\left(5\right)}\left(x\right)=-\sin x\\ f^{\left(6\right)}\left(x\right)=-\cos x\\ f^{\left(7\right)}\left(x\right)=\sin x\\ f\left(x\right)=\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\cos x-1+\frac{x^2}{2!}}{x^3}=0\\ \underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\cos x-1+\frac{x^2}{2!}}{x^4}=\frac{1}{4!}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, cos, factorial

print('40.')

x = symbols('x')
num = cos(x) - 1 + x ** 2 / factorial(2)
f = num / x ** 3
g = num / x ** 4
for h in f, g:
    for d in ['+', '-']:
        l = Limit(h, x, 0, dir=d)
        for o in [l, l.doit()]:
            pprint(o)
            print()

p = plot(num, x ** 3, x ** 4, f, g,
         (x, -1, 1),
         ylim=(-1, 1),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample40.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample40.py
40.
     ⎛ 2             ⎞
     ⎜x              ⎟
     ⎜── + cos(x) - 1⎟
     ⎜2              ⎟
 lim ⎜───────────────⎟
x─→0⁺⎜        3      ⎟
     ⎝       x       ⎠

0

     ⎛ 2             ⎞
     ⎜x              ⎟
     ⎜── + cos(x) - 1⎟
     ⎜2              ⎟
 lim ⎜───────────────⎟
x─→0⁻⎜        3      ⎟
     ⎝       x       ⎠

0

     ⎛ 2             ⎞
     ⎜x              ⎟
     ⎜── + cos(x) - 1⎟
     ⎜2              ⎟
 lim ⎜───────────────⎟
x─→0⁺⎜        4      ⎟
     ⎝       x       ⎠

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     ⎛ 2             ⎞
     ⎜x              ⎟
     ⎜── + cos(x) - 1⎟
     ⎜2              ⎟
 lim ⎜───────────────⎟
x─→0⁻⎜        4      ⎟
     ⎝       x       ⎠

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C:\Users\...>