数学 - 図形と数や式の関係 - 平面図形と式 - 円と軌跡 - 円の方程式 - 中心、半径

新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と和也式の関係 - 平面図形と式)、6.3(円と軌跡)、円の方程式の問19の解答を求めてみる。

19. 
    
    1. 
       
       $x^2+y^2=9$
    2. 
       
       ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=16$
    3. 
       

       半径を r とおく。

       ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=r^2$

       原点を通るので、

       $\begin{array}{l}9+4=r^2\\ r^2=13\end{array}$

       よって求める円の方程式は、

       ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=13$
    4. 
       

       問題の直径についての仮定より円の中心の座標を求める。

       $\left(\frac{1+5}{2},\frac{4+2}{2}\right)=\left(3,3\right)$

       半径の2乗。

       $\begin{array}{l}{\left(3-1\right)}^2+{\left(4-3\right)}^2\\ =4+1\\ =5\end{array}$

       よって 求める円の方程式は、

       ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=5$

       円の中心を(a, b)、半径を r とおく。

       $\begin{array}{l}a+b=3\\ b=3-a\\ {\left(x-a\right)}^2+{\left(y-\left(3-a\right)\right)}^2=r^2\end{array}$

       2点（4，1）、 （2，-3）を通るので、

       $\begin{array}{l}{\left(4-a\right)}^2+{\left(1-\left(3-a\right)\right)}^2=r^2\\ {\left(2-a\right)}^2+{\left(-3-\left(3-a\right)\right)}^2=r^2\\ {\left(4-a\right)}^2+{\left(a-2\right)}^2={\left(2-a\right)}^2+{\left(a-6\right)}^2\\ 16-8a-4a+4=4-4a-12a+36\\ 4a=20\\ a=5\\ b=-2\\ r^2=1+9=10\end{array}$

       よって 求める円の方程式は、

       ${\left(x-5\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=10$