数学 - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数 - ロルの定理

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   $g\left(x\right)=f\left(x\right)e^{-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}x}$

   とおくと、

   $\begin{array}{l}g\left(a\right)\\ =f\left(a\right)e^{-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}x}\\ =0\\ g\left(b\right)\\ =f\left(b\right)e^{-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}x}\\ =0\end{array}$

   g は問題の区間で微分可能で連続なので's にルの定理より

   $a<c<b$

   が存在して、

   $g\text{'}\left(c\right)=0$

   また、

   $\begin{array}{l}g\text{'}\left(x\right)\\ =f\text{'}\left(x\right)e^{-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}x}-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}f\left(x\right)e^{-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}x}\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(c\right)e^{-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}c}-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}f\left(c\right)e^{-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}c}=0\\ f\text{'}\left(c\right)=\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}f\left(c\right)\end{array}$

   （証明終）