数学 - Python - 図形と数や式の関係 - 平面図形と式 - 円と軌跡 - 軌跡の方程式 - 比率、距離、平方和、線分、内分点

新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と和也式の関係 - 平面図形と式)、6.3(円と軌跡)、軌跡の方程式の問30の解答を求めてみる。

30. 
    
    1. 
       

       点 P を(x, y)とおく。

       $\begin{array}{l}{\left(x-6\right)}^2+y^2=2^2\left(x^2+{\left(y-3\right)}^2\right)\\ 3x^2+12x+3y^2-24y=0\\ x^2+4x+y^2-8y=0\\ {\left(x+2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=20\end{array}$

       よって中心、半径がそれぞれ

       $\begin{array}{l}\left(-2,4\right)\\ \sqrt{20}=2\sqrt{5}\end{array}$

       の円。

    2. 
       
       $\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^2+y^2+{\left(x-1\right)}^2+y^2=4\\ 2x^2+2y^2=4\\ x^2+y^2=2\end{array}$
    3. 
       
       $\begin{array}{l}{x}^2+y^2={\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(x-2\right)}^2+y^2\\ x^2+y^2-6x+5=0\\ {\left(x-3\right)}^2+y^2=4\end{array}$
    4. 
       
       $\begin{array}{l}{x}^2+y^2+{\left(x-4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(x-5\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=64\\ 3x^2+3y^2-18x-6y+46=64\\ 3x^2+3y^2-18x-6y=18\\ x^2+y^2-6x-2y=6\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=16\end{array}$
    5. 
       

       点 Q の座標を

       $\left(u,v\right)$

       とおく。

       $\begin{array}{l}{u}^2+v^2-6u-10v+30=0\\ x=\frac{3u}{3+1}\\ y=\frac{3v}{3+1}\\ u=\frac{4}{3}x\\ v=\frac{4}{3}y\\ {\left(\frac{4}{3}\right)}^2{x}^2+{\left(\frac{4}{3}\right)}^2{y}^2-6·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{4}{3}x-10·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{4}{3}y+30=0\\ x^2+y^2-6·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{3}{4}x-10·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{3}{4}y+30·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{3^2}{4^2}=0\\ x^2+y^2-\frac{9}{2}x-\frac{15}{2}y+\frac{135}{8}=0\\ {\left(x-\frac{9}{4}\right)}^2+{\left(y-\frac{15}{4}\right)}^2-{\left(\frac{9}{4}\right)}^2-{\left(\frac{15}{4}\right)}^2+\frac{135}{8}=0\\ {\left(x-\frac{9}{4}\right)}^2+{\left(y-\frac{15}{4}\right)}^2-\frac{81}{16}-\frac{225}{16}+\frac{270}{16}=0\\ {\left(x-\frac{9}{4}\right)}^2+{\left(y-\frac{15}{4}\right)}^2=\frac{36}{16}\\ {\left(x-\frac{9}{4}\right)}^2+{\left(y-\frac{15}{4}\right)}^2=\frac{9}{4}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, solve, sqrt, Rational

print('30.')

x, y = symbols('x, y')
u = 4 * x / 3
v = 4 * y / 3
eq = u ** 2 + v ** 2 - 6 * u - 10 * v + 30
ys = solve(eq, y)

for o in [eq, eq.factor(), ys]:
    pprint(o)
    print()

r = Rational(3, 2)
ox = Rational(9, 4)
x1 = ox - r
x2 = ox + r
p = plot(*ys,
         (x, x1, x2),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample30.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample30.py
30.
    2             2            
16⋅x          16⋅y    40⋅y     
───── - 8⋅x + ───── - ──── + 30
  9             9      3       

  ⎛   2             2             ⎞
2⋅⎝8⋅x  - 36⋅x + 8⋅y  - 60⋅y + 135⎠
───────────────────────────────────
                 9                 

⎡        _____________________     _____________________     ⎤
⎢       ╱       2                 ╱       2                  ⎥
⎢15   ╲╱  - 16⋅x  + 72⋅x - 45   ╲╱  - 16⋅x  + 72⋅x - 45    15⎥
⎢── - ────────────────────────, ──────────────────────── + ──⎥
⎣4               4                         4               4 ⎦


C:\Users\...>