2019年7月28日日曜日

学習環境

新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と和也式の関係 - 平面図形と式)、6.3(円と軌跡)、軌跡の方程式の問30の解答を求めてみる。



    1. 点 P を(x, y)とおく。

      x - 6 2 + y 2 = 2 2 x 2 + y - 3 2 3 x 2 + 12 x + 3 y 2 - 24 y = 0 x 2 + 4 x + y 2 - 8 y = 0 x + 2 2 + y - 4 2 = 20

      よって中心、半径がそれぞれ

      - 2 , 4 20 = 2 5

      の円。


    2. x + 1 2 + y 2 + x - 1 2 + y 2 = 4 2 x 2 + 2 y 2 = 4 x 2 + y 2 = 2

    3. x 2 + y 2 = x - 1 2 + y 2 + x - 2 2 + y 2 x 2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 x - 3 2 + y 2 = 4

    4. x 2 + y 2 + x - 4 2 + y - 2 2 + x - 5 2 + y - 1 2 = 64 3 x 2 + 3 y 2 - 18 x - 6 y + 46 = 64 3 x 2 + 3 y 2 - 18 x - 6 y = 18 x 2 + y 2 - 6 x - 2 y = 6 x - 3 2 + y - 1 2 = 16

    5. 点 Q の座標を

      u , v

      とおく。

      u 2 + v 2 - 6 u - 10 v + 30 = 0 x = 3 u 3 + 1 y = 3 v 3 + 1 u = 4 3 x v = 4 3 y 4 3 2 x 2 + 4 3 2 y 2 - 6 · 4 3 x - 10 · 4 3 y + 30 = 0 x 2 + y 2 - 6 · 3 4 x - 10 · 3 4 y + 30 · 3 2 4 2 = 0 x 2 + y 2 - 9 2 x - 15 2 y + 135 8 = 0 x - 9 4 2 + y - 15 4 2 - 9 4 2 - 15 4 2 + 135 8 = 0 x - 9 4 2 + y - 15 4 2 - 81 16 - 225 16 + 270 16 = 0 x - 9 4 2 + y - 15 4 2 = 36 16 x - 9 4 2 + y - 15 4 2 = 9 4

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, solve, sqrt, Rational

print('30.')

x, y = symbols('x, y')
u = 4 * x / 3
v = 4 * y / 3
eq = u ** 2 + v ** 2 - 6 * u - 10 * v + 30
ys = solve(eq, y)

for o in [eq, eq.factor(), ys]:
    pprint(o)
    print()

r = Rational(3, 2)
ox = Rational(9, 4)
x1 = ox - r
x2 = ox + r
p = plot(*ys,
         (x, x1, x2),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample30.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample30.py
30.
    2             2            
16⋅x          16⋅y    40⋅y     
───── - 8⋅x + ───── - ──── + 30
  9             9      3       

  ⎛   2             2             ⎞
2⋅⎝8⋅x  - 36⋅x + 8⋅y  - 60⋅y + 135⎠
───────────────────────────────────
                 9                 

⎡        _____________________     _____________________     ⎤
⎢       ╱       2                 ╱       2                  ⎥
⎢15   ╲╱  - 16⋅x  + 72⋅x - 45   ╲╱  - 16⋅x  + 72⋅x - 45    15⎥
⎢── - ────────────────────────, ──────────────────────── + ──⎥
⎣4               4                         4               4 ⎦


C:\Users\...>

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