数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 対数関数、直線、発散、微分、極限

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題5を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{a_{n+1}}{a_n}\\ =\frac{n}{n+1}\frac{\log \left(n+1\right)}{\log n}\\ =\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\frac{\log \left(n+1\right)}{\log n}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{a_n+1}{a_n}=1\end{array}$

   よって、 任意の n に対して、

   $\begin{array}{l}\frac{a_{n+1}}{a_n}<c\\ 0<c<1\end{array}$

   となる c は存在しないので発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, log, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('5.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(log(n) / n, (n, 1, oo))
l = Limit(log(n + 1) / (n + 1) * n / log(n), n, oo)
for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([log(k) / k for k in range(1, n + 1)])


ns = range(2, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [log(n + 1) / log(n) * (n + 1) / n for n in ns],
         ns, [1 for _ in ns])

plt.legend(['Σ log(n) / n', 'an+1 / an', 1])
plt.savefig('sample5.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
  ∞         
 ____       
 ╲          
  ╲   log(n)
   ╲  ──────
   ╱    n   
  ╱         
 ╱          
 ‾‾‾‾       
n = 1       

    ⎛ n⋅log(n + 1) ⎞
lim ⎜──────────────⎟
n─→∞⎝(n + 1)⋅log(n)⎠

1


c:\Users\...>