数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 累乗根(立方根)、直線、累乗(べき乗、平方)、和、差、商、極限

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題32の解答を求めてみる。

32. 
    
    $\begin{array}{l}f\left(x\right)={\left(1-x\right)}^{\frac{1}{3}}-1+\frac{1}{3}x\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}f\left(x\right)\\ =\frac{1}{3}{\left(1-x\right)}^{-\frac{2}{3}}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\\ =-\frac{1}{3}{\left(1-x\right)}^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}\\ \frac{d^2}{d{x}^2}f\left(x\right)\\ =\frac{2}{3^2}{\left(1-x\right)}^{-\frac{5}{3}}\left(-1\right)\\ =-\frac{2}{3^2}{\left(1-x\right)}^{-\frac{5}{3}}\\ \frac{d^3}{d{x}^3}f\left(x\right)\\ =-\frac{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->5}{3^3}{\left(1-x\right)}^{-\frac{8}{3}}\\ f\left(x\right)\\ =-\frac{1}{2!}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2}{3^2}{x}^2-\frac{1}{3!}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->5}{3^3}{x}^3-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{{\left(1-x\right)}^{\frac{1}{3}}-1+\frac{1}{3}x}{x^2}\\ =-\frac{1}{2!}\frac{2}{3^2}\\ =-\frac{1}{9}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, Rational

print('32.')

x = symbols('x')
f = ((1 - x) ** Rational(1, 3) - 1 + x / 3) / x ** 2

for d in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=d)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot((1 - x) ** Rational(1, 3), x / 3,
         (1 - x) ** Rational(1, 3) - 1 + x / 3, x ** 2,
         ((1 - x) ** Rational(1, 3) - 1 + x / 3) / x ** 2,
         (x, -1.5, 1.5),
         ylim=(-2, 2),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

# p.show()
p.save('sample32.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample32.py
32.
     ⎛x   3 _______    ⎞
     ⎜─ + ╲╱ 1 - x  - 1⎟
     ⎜3                ⎟
 lim ⎜─────────────────⎟
x─→0⁺⎜         2       ⎟
     ⎝        x        ⎠

-1/9

     ⎛x   3 _______    ⎞
     ⎜─ + ╲╱ 1 - x  - 1⎟
     ⎜3                ⎟
 lim ⎜─────────────────⎟
x─→0⁻⎜         2       ⎟
     ⎝        x        ⎠

-1/9


C:\Users\...>