数学 - Python - 解析学 - 微分法 - 平均値の定理(ロルの定理の拡張、無限大、区間)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.2(平均値の定理)、問題7の解答を求めてみる。

7. 
   

   定数関数の場合は

   $f\text{'}\left(c\right)=0$

   を満たす c は存在する。

   定数関数ではない場合。

   $\begin{array}{l}a<b\\ f\left(a\right)<f\left(b\right)\end{array}$

   または

   $\begin{array}{l}a<b\\ f\left(a\right)>f\left(b\right)\end{array}$

   を満たす b が存在する。

   $\begin{array}{l}a<b\\ f\left(a\right)<f\left(b\right)\end{array}$

   の場合。

   $\begin{array}{l}a<d<b\\ f\left(a\right)<f\left(d\right)<f\left(b\right)\end{array}$

   を満たす d が存在する。

   また、仮定の

   $\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$

   より、

   $\begin{array}{l}b<e<\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\\ f\left(e\right)=f\left(d\right)\end{array}$

   と満たす e が存在する。

   よって、ロルの定理より、 間区間(e, d)に

   $\begin{array}{l}d<c<e\\ f\left(c\right)=0\end{array}$

   を満たす c が存在する。

   $\begin{array}{l}a<b\\ f\left(a\right)>f\left(b\right)\end{array}$

   の場合も同様。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, Limit, oo, Derivative, sin, pi

print('7.')
x = symbols('x')
a = 1
f = sin(pi / x)
f1 = Derivative(f, x, 1)
l = Limit(f, x, oo)
for o in [f, f.subs({x: a}), f1, f1.doit(), l, l.doit(),
          l.doit() == f.subs({x: a}), solve(f1.doit())]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, f1.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample7.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
   ⎛π⎞
sin⎜─⎟
   ⎝x⎠

0

d ⎛   ⎛π⎞⎞
──⎜sin⎜─⎟⎟
dx⎝   ⎝x⎠⎠

      ⎛π⎞ 
-π⋅cos⎜─⎟ 
      ⎝x⎠ 
──────────
     2    
    x     

       ⎛π⎞
lim sin⎜─⎟
x─→∞   ⎝x⎠

0

True

[2/3, 2]


C:\Users\...>