2019年6月29日土曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.2(平均値の定理)、問題7の解答を求めてみる。


  1. 定数関数の場合は

    f ' c = 0

    を満たす c は存在する。

    定数関数ではない場合。

    a < b f a < f b

    または

    a < b f a > f b

    を満たす b が存在する。

    a < b f a < f b

    の場合。

    a < d < b f a < f d < f b

    を満たす d が存在する。

    また、仮定の

    lim x f x = f a

    より、

    b < e < f e = f d

    と満たす e が存在する。

    よって、ロルの定理より、 間区間(e, d)に

    d < c < e f c = 0

    を満たす c が存在する。

    a < b f a > f b

    の場合も同様。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, Limit, oo, Derivative, sin, pi

print('7.')
x = symbols('x')
a = 1
f = sin(pi / x)
f1 = Derivative(f, x, 1)
l = Limit(f, x, oo)
for o in [f, f.subs({x: a}), f1, f1.doit(), l, l.doit(),
          l.doit() == f.subs({x: a}), solve(f1.doit())]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, f1.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample7.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
   ⎛π⎞
sin⎜─⎟
   ⎝x⎠

0

d ⎛   ⎛π⎞⎞
──⎜sin⎜─⎟⎟
dx⎝   ⎝x⎠⎠

      ⎛π⎞ 
-π⋅cos⎜─⎟ 
      ⎝x⎠ 
──────────
     2    
    x     

       ⎛π⎞
lim sin⎜─⎟
x─→∞   ⎝x⎠

0

True

[2/3, 2]


C:\Users\...>

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