数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 有限次元ベクトル空間、平行四辺形法則

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{l}{∥u+v∥}^2+{∥u-v∥}^2\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->u+v,u+v⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->u-v,u-v⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->u,u⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->u,v⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->v,u⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->v,v⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ +⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->u,u⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->-⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->u,v⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->-⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->v,u⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->v,v⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =2\left({∥u∥}^2+{∥v∥}^2\right)\end{array}$

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('10.')

u = Matrix(symbols(f'x1, y1', real=True))
v = Matrix(symbols(f'x2, y2', real=True))
l = (u + v).norm() ** 2 + (u - v).norm() ** 2
r = 2 * (u.norm() ** 2 + v.norm() ** 2)

for o in [u, v, l, r, l.expand() == r.expand()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample10.py
10.
⎡x₁⎤
⎢  ⎥
⎣y₁⎦

⎡x₂⎤
⎢  ⎥
⎣y₂⎦

         2            2            2            2
(x₁ - x₂)  + (x₁ + x₂)  + (y₁ - y₂)  + (y₁ + y₂) 

    2       2       2       2
2⋅x₁  + 2⋅x₂  + 2⋅y₁  + 2⋅y₂ 

True


C:\Users\...>