数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦)、累乗(べき乗、立方)、差、商、極限

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題27の解答を求めてみる。

27. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\sin x-x\right)\\ =\cos x-1\\ \frac{d^2}{d{x}^2}\left(\sin x-x\right)\\ =-\sin x\\ \frac{d^3}{d{x}^3}\left(\sin x-x\right)\\ =-\cos x\\ \frac{d^4}{d{x}^4}\left(\sin x-x\right)\\ =\sin x\\ \frac{d^5}{d{x}^5}\left(\sin x-x\right)\\ =\cos x\\ \frac{d^6}{d{x}^6}\left(\sin x-x\right)\\ =-\sin x\\ \sin x-x=-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{6}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, sin

print('27.')

x = symbols('x')
f = (sin(x) - x) / x ** 3

for dir in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=dir)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(sin(x), -x, sin(x) - x, x ** 3, f,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample27.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample27.py
27.
     ⎛-x + sin(x)⎞
 lim ⎜───────────⎟
x─→0⁺⎜      3    ⎟
     ⎝     x     ⎠

-1/6

     ⎛-x + sin(x)⎞
 lim ⎜───────────⎟
x─→0⁻⎜      3    ⎟
     ⎝     x     ⎠

-1/6


C:\Users\...>