数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 連続関数のなすベクトル空間、部分空間の生成、3次元、正規直交基底、積分によるスカラー積の定義

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   直交化、直交基底。

   $\begin{array}{l}u=1\\ v=t-\frac{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->t,1⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->1,1⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}1\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->t,1⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{1}t·\; <!--\; middle\; dot\; -->1\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->1,1⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}1·\; <!--\; middle\; dot\; -->1\mathrm{dt}\\ =1\\ v=t-\frac{1}{2}\\ w=t^2-\frac{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->t^2,t-\frac{1}{2}⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->t-\frac{1}{2},t-\frac{1}{2}⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}\left(t-\frac{1}{2}\right)-\frac{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->t^2,1⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->1,1⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}1\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->t^2,t-\frac{1}{2}⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1\left(t^3-\frac{1}{2}{t}^2\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{4}-\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{3}\\ =\frac{3-2}{12}\\ =\frac{1}{12}\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->t-\frac{1}{2},t-\frac{1}{2}⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1\left(t^2-t+\frac{1}{4}\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\\ =\frac{4-6+3}{12}\\ =\frac{1}{12}\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->t^2,1⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1{t}^2\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{3}\\ w=t^2-\left(t-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{3}\\ =t^2-t+\frac{1}{6}\end{array}$

   正規化、正規直交基底。

   $\begin{array}{l}\frac{u}{∥u∥}\\ =\frac{1}{\sqrt{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->1,1⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}}\\ =1\\ \frac{v}{∥v∥}\\ =\frac{t-\frac{1}{2}}{\sqrt{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->t-\frac{1}{2},t-\frac{1}{2}⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}}\\ =\sqrt{12}\left(t-\frac{1}{2}\right)\\ =2\sqrt{3}\left(t-\frac{1}{2}\right)\\ =2\sqrt{3}t-\sqrt{3}\\ \frac{w}{∥w∥}.\\ =\frac{t^2-t+\frac{1}{6}}{\sqrt{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->t^2-t+\frac{1}{6},t^2-t+\frac{1}{6}⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}}\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->t^2-t+\frac{1}{6},t^2-t+\frac{1}{6}⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1\left(t^4-2t^3+\frac{4}{3}{t}^2-\frac{1}{3}t+\frac{1}{36}\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{4}{9}-\frac{1}{6}+\frac{1}{36}\\ =\frac{36-90+80-30+5}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->6^2}\\ =\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->6^2}\\ \frac{w}{∥w∥}=6\sqrt{5}\left(t^2-t+\frac{1}{6}\right)\\ =6\sqrt{5}{t}^2-6\sqrt{5}t+\sqrt{5}\\ \left\{1,2\sqrt{3}t-\sqrt{3},6\sqrt{5}-6\sqrt{5}t+\sqrt{5}\right\}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Integral, sqrt

print('5.')

t = symbols('t')


def scalar_mul(f, g):
    return Integral(f * g, (t, 0, 1)).doit()


def norm(f):
    return sqrt(scalar_mul(f, f))


f = 1
g = t
h = t ** 2
u = f / norm(f)
v = g - scalar_mul(g, u) / scalar_mul(u, u) * u
v = v / norm(v)
w = h - scalar_mul(h, v) / scalar_mul(v, v) * v - \
    scalar_mul(h, u) / scalar_mul(u, u) * u

for o in [u, v, w]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, g, h, u, v, w, ylim=(-10, 10), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
1

2⋅√3⋅(t - 1/2)

 2       1
t  - t + ─
         6


C:\Users\...>