数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 放物線(累乗(べき乗、2次))、三角関数(正弦)、積、次数、一意性定理

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題15-(g)の解答を求めてみる。

15. 
    
    7. 
       
       $\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+O\left(x^5\right)$

       よって求める問題の関数に対する4次のテイラー多項式は、

       $\begin{array}{l}x+x^2+\left(1-\frac{1}{3!}\right)x^3-\frac{1}{3!}{x}^4\\ =x+x^2+\frac{5}{6}{x}^3-\frac{1}{6}{x}^4\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, sin

print('15-(g).')

x = symbols('x')

f = sum([x ** i for i in range(3)]) * sin(x)
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(5)])

pprint(g)

p = plot(sum([x ** i for i in range(3)]), sin(x), f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample15.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample15.py
15-(g).
   4      3         
  x    5⋅x     2    
- ── + ──── + x  + x
  6     6           

C:\Users\...>