数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 一意性定理(累乗、係数、級数、帰納法)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、8(一意性定理)の練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   

   x の 絶対値が1以下のとき、

   $\begin{array}{l}\left|x\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\\ {\left|x\right|}^i=\left|x\right|{\left|x\right|}^{i-1}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left|x\right|}^{k+1}\end{array}$

   よって、 帰納法により、

   $\begin{array}{l}k<i\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n\\ {\left|x\right|}^i\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left|x\right|}^{k+1}\end{array}$

   ゆえに、

   $\begin{array}{l}\left|\underset{i=k+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_i{x}^i\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{i=k+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|a_i\right|{\left|x\right|}^i\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{i=k+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|a_i\right|{\left|x\right|}^{k+1}\\ =\left(\underset{i=k+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|a_i\right|\right){\left|x\right|}^{k+1}\end{array}$

   以上より、

   $\underset{i=0}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_i{x}^i=\underset{i=0}{\overset{k}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_i{x}^i+O\left(x^{k+1}\right)$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit
import random
print('7.')

x = symbols('x')
k = 10
n = 20
coefficients = [random.randrange(-10, 11) for _ in range(n + 1)]
terms = [coefficients[i] * x ** i for i in range(n + 1)]
s = sum(terms)
t = sum(terms[:k + 1])
u = sum([coefficients[i] * x ** (k + 1) for i in range(k + 1, n + 1)])
for o in [s, t, u]:
    pprint(o)
    print()

print(abs((s - t).subs({x: 0.1})) <= u.subs({x: 0.1}))

p = plot(s, t, (x, -1, 1),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample7.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
   20      19      18      16      13      12    11       10      9       7   
4⋅x   + 7⋅x   + 9⋅x   + 9⋅x   + 4⋅x   + 4⋅x   - x   + 10⋅x   - 8⋅x  - 10⋅x  - 

   6      4      3      2          
2⋅x  + 4⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x  - 2⋅x - 5

    10      9       7      6      4      3      2          
10⋅x   - 8⋅x  - 10⋅x  - 2⋅x  + 4⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x  - 2⋅x - 5

    11
36⋅x  

True

C:\Users\...>