数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 行列式の性質(線形性、スカラー倍)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、2(行列式の性質)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}D\left(cA\right)\\ =D\left(c{A}^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,c{A}^n\right)\\ =c^{n}D\left(A^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,A^n\right)\\ =c^{n}D\left(A\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('1.')

c = symbols('c')

for n in range(1, 5):
    A = Matrix([[symbols(f'a{i}{j}') for j in range(1, n + 1)]
                for i in range(1, n + 1)])
    for o in [A, c * A, (c * A).det(), c ** n * A.det(),
              (c * A).det().expand() == (c ** n * A.det()).expand()]:
        pprint(o)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
[a₁₁]

[a₁₁⋅c]

a₁₁⋅c

a₁₁⋅c

True

⎡a₁₁  a₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣a₂₁  a₂₂⎦

⎡a₁₁⋅c  a₁₂⋅c⎤
⎢            ⎥
⎣a₂₁⋅c  a₂₂⋅c⎦

         2            2
a₁₁⋅a₂₂⋅c  - a₁₂⋅a₂₁⋅c 

 2                    
c ⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)

True

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣a₃₁  a₃₂  a₃₃⎦

⎡a₁₁⋅c  a₁₂⋅c  a₁₃⋅c⎤
⎢                   ⎥
⎢a₂₁⋅c  a₂₂⋅c  a₂₃⋅c⎥
⎢                   ⎥
⎣a₃₁⋅c  a₃₂⋅c  a₃₃⋅c⎦

             3                3                3                3             
a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅c  - a₁₁⋅a₂₃⋅a₃₂⋅c  - a₁₂⋅a₂₁⋅a₃₃⋅c  + a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₁⋅c  + a₁₃⋅a₂₁⋅a₃

   3                3
₂⋅c  - a₁₃⋅a₂₂⋅a₃₁⋅c 

 3                                                                            
c ⋅(a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃ - a₁₁⋅a₂₃⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₂₁⋅a₃₃ + a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₁ + a₁₃⋅a₂₁⋅a₃₂ - a₁₃⋅

        
a₂₂⋅a₃₁)

True

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                  ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃  a₂₄⎥
⎢                  ⎥
⎢a₃₁  a₃₂  a₃₃  a₃₄⎥
⎢                  ⎥
⎣a₄₁  a₄₂  a₄₃  a₄₄⎦

⎡a₁₁⋅c  a₁₂⋅c  a₁₃⋅c  a₁₄⋅c⎤
⎢                          ⎥
⎢a₂₁⋅c  a₂₂⋅c  a₂₃⋅c  a₂₄⋅c⎥
⎢                          ⎥
⎢a₃₁⋅c  a₃₂⋅c  a₃₃⋅c  a₃₄⋅c⎥
⎢                          ⎥
⎣a₄₁⋅c  a₄₂⋅c  a₄₃⋅c  a₄₄⋅c⎦

                 4                    4                    4                  
a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄⋅c  - a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₄⋅a₄₃⋅c  - a₁₁⋅a₂₃⋅a₃₂⋅a₄₄⋅c  + a₁₁⋅a₂₃⋅a₃₄⋅a₄₂

  4                    4                    4                    4            
⋅c  + a₁₁⋅a₂₄⋅a₃₂⋅a₄₃⋅c  - a₁₁⋅a₂₄⋅a₃₃⋅a₄₂⋅c  - a₁₂⋅a₂₁⋅a₃₃⋅a₄₄⋅c  + a₁₂⋅a₂₁⋅a

        4                    4                    4                    4      
₃₄⋅a₄₃⋅c  + a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₁⋅a₄₄⋅c  - a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₄⋅a₄₁⋅c  - a₁₂⋅a₂₄⋅a₃₁⋅a₄₃⋅c  + a₁₂

              4                    4                    4                    4
⋅a₂₄⋅a₃₃⋅a₄₁⋅c  + a₁₃⋅a₂₁⋅a₃₂⋅a₄₄⋅c  - a₁₃⋅a₂₁⋅a₃₄⋅a₄₂⋅c  - a₁₃⋅a₂₂⋅a₃₁⋅a₄₄⋅c 

                    4                    4                    4               
 + a₁₃⋅a₂₂⋅a₃₄⋅a₄₁⋅c  + a₁₃⋅a₂₄⋅a₃₁⋅a₄₂⋅c  - a₁₃⋅a₂₄⋅a₃₂⋅a₄₁⋅c  - a₁₄⋅a₂₁⋅a₃₂⋅

     4                    4                    4                    4         
a₄₃⋅c  + a₁₄⋅a₂₁⋅a₃₃⋅a₄₂⋅c  + a₁₄⋅a₂₂⋅a₃₁⋅a₄₃⋅c  - a₁₄⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₁⋅c  - a₁₄⋅a₂

           4                    4
₃⋅a₃₁⋅a₄₂⋅c  + a₁₄⋅a₂₃⋅a₃₂⋅a₄₁⋅c 

 4                                                                            
c ⋅(a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄ - a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₄⋅a₄₃ - a₁₁⋅a₂₃⋅a₃₂⋅a₄₄ + a₁₁⋅a₂₃⋅a₃₄⋅a₄₂ + a₁

                                                                              
₁⋅a₂₄⋅a₃₂⋅a₄₃ - a₁₁⋅a₂₄⋅a₃₃⋅a₄₂ - a₁₂⋅a₂₁⋅a₃₃⋅a₄₄ + a₁₂⋅a₂₁⋅a₃₄⋅a₄₃ + a₁₂⋅a₂₃⋅

                                                                              
a₃₁⋅a₄₄ - a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₄⋅a₄₁ - a₁₂⋅a₂₄⋅a₃₁⋅a₄₃ + a₁₂⋅a₂₄⋅a₃₃⋅a₄₁ + a₁₃⋅a₂₁⋅a₃₂⋅a₄

                                                                              
₄ - a₁₃⋅a₂₁⋅a₃₄⋅a₄₂ - a₁₃⋅a₂₂⋅a₃₁⋅a₄₄ + a₁₃⋅a₂₂⋅a₃₄⋅a₄₁ + a₁₃⋅a₂₄⋅a₃₁⋅a₄₂ - a₁

                                                                              
₃⋅a₂₄⋅a₃₂⋅a₄₁ - a₁₄⋅a₂₁⋅a₃₂⋅a₄₃ + a₁₄⋅a₂₁⋅a₃₃⋅a₄₂ + a₁₄⋅a₂₂⋅a₃₁⋅a₄₃ - a₁₄⋅a₂₂⋅

                                            
a₃₃⋅a₄₁ - a₁₄⋅a₂₃⋅a₃₁⋅a₄₂ + a₁₄⋅a₂₃⋅a₃₂⋅a₄₁)

True


C:\Users\...>