数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 級数(正項級数、平方根、逆数、相加平均、相乗平均、比較定理、無限級数の収束と発散)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.3(級数)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   式の変形と相加平均、相乗平均より、不等式

   $\begin{array}{l}\frac{\sqrt{a_n}}{n}\\ =\sqrt{\frac{a_n}{n^2}}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{\frac{a_n+1}{n^2}}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{a_n+\frac{1}{n^2}}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{n^2}\right)\end{array}$

   が成り立つ。

   また、右辺の 級数について、

   $\begin{array}{l}\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\left(a_n+\frac{1}{n^2}\right)\\ =\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->a_n+\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\frac{1}{n^2}\end{array}$

   なので収束する。

   そして正項級数なので、 比較定理により、 無限級数

   $\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->\frac{\sqrt{a_n}}{n}$

   も収束する。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, sqrt, Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('5.')

n = symbols('n')

an = 1 / n ** Rational(11, 10)
bn = sqrt(an) / n
cn = an + 1 / n ** 2
ans = [an, bn, cn]

for a in ans:
    s = summation(a, (n, 1, oo))
    for a, o in zip(['一般項', '無限級数'], [an, s]):
        print(a)
        pprint(o)
        print()


def s(k, an):
    return sum([an.subs({n: i}) for i in range(1, k + 1)])


ns = range(1, 11)
plt.plot([k for k in ns],
         [s(k, ans[0]) for k in ns],
         [k for k in ns],
         [s(k, ans[1]) for k in ns],
         [k for k in ns],
         [s(k, ans[2]) for k in ns],
         marker='o')
plt.xticks(ns)
plt.legend(['an', 'bn', 'cn'])
# plt.show()
plt.savefig('sample5.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
一般項
 1 
───
 11
 ──
 10
n  

無限級数
 ⎛11⎞
ζ⎜──⎟
 ⎝10⎠

一般項
 1 
───
 11
 ──
 10
n  

無限級数
   ∞                
_______             
╲                   
 ╲             _____
  ╲           ╱  1  
   ╲         ╱  ─── 
    ╲       ╱    11 
     ╲     ╱     ── 
     ╱    ╱      10 
    ╱   ╲╱      n   
   ╱    ────────────
  ╱          n      
 ╱                  
╱                   
‾‾‾‾‾‾‾             
 n = 1              

一般項
 1 
───
 11
 ──
 10
n  

無限級数
  ∞             
_____           
╲               
 ╲    ⎛1     1 ⎞
  ╲   ⎜── + ───⎟
   ╲  ⎜ 2    11⎟
   ╱  ⎜n     ──⎟
  ╱   ⎜      10⎟
 ╱    ⎝     n  ⎠
╱               
‾‾‾‾‾           
n = 1           


C:\Users\...>