数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 三角関数(余弦)、累乗(べき乗、平方)、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{-2\left(\cos x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}\\ \frac{d^2}{d{x}^2}\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{2\left(\cos x\right){\cos }^{3}x-2\left(\sin x\right)3\left({\cos }^{2}x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{6}x}\\ =\frac{2{\cos }^{4}x+6\left({\sin }^{2}x\right)\left({\cos }^{2}x\right)}{{\cos }^{6}x}\\ =\frac{2}{{\cos }^{2}x}+\frac{6\left(1-{\cos }^{2}x\right)\left({\cos }^{2}x\right)}{{\cos }^{6}x}\\ =\frac{2}{{\cos }^{2}x}+\frac{6}{{\cos }^{4}x}-\frac{6}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{6}{{\cos }^{4}x}-\frac{4}{{\cos }^{2}x}\\ \frac{d^3}{d{x}^3}\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ =-\frac{8\sin x}{{\cos }^{3}x}+\frac{-24\left({\cos }^{3}x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{8}x}\end{array}$

   よって求める問題の関数の3次のテイラー多項式は、

   $\begin{array}{l}1+\frac{2}{2!}{x}^2\\ =1+x^2\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, cos

print('3.')

x = symbols('x')

f = 1 / cos(x) ** 2
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(4)])

pprint(g)

p = plot(f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
 2    
x  + 1

C:\Users\...>