数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 級数(指数関数、階乗、正項級数、収束、発散)

解析入門(上)
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.3(級数)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\left|\frac{n}{2^n}\right|>0\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{n+1}{2^{n+1}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2^n}{n}\\ =\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{n+1}{2n}\\ =\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}}{2}\\ =\frac{1}{2}\\ <1\end{array}$

      よって級数は収束する。

   2. 
      
      $\begin{array}{l}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{2^{n+1}}{\left(n+1\right)!}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{n!}{2^n}\\ =\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{2}{n+1}\\ =0\\ <1\end{array}$

      よって収束する。

   3. 
      
      $\begin{array}{l}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{3^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^3}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{n^3}{3^n}\\ =\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{3}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^3}\\ =3\\ >1\end{array}$

      よって発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, factorial, summation, oo, Limit
import matplotlib.pyplot as plt
print('3.')

n = symbols('n')
ans = [n / 2 ** n, 2 ** n / factorial(n), 3 ** n / n ** 3]

for i, an in enumerate(ans, 1):
    print(f'({i})')
    l = Limit(an.subs({n: n + 1}) / an, n, oo)
    for o in [l, l.doit(), summation(an, (n, 1, oo))]:
        pprint(o)
        print()


def s(k, an):
    return sum([an.subs({n: i}) for i in range(1, k + 1)])


plt.plot([n for n in range(1, 11)],
         [s(k, ans[0]) for k in range(1, 11)],
         [k for k in range(1, 11)],
         [s(k, ans[1]) for k in range(1, 11)],
         [k for k in range(1, 11)],
         [s(k, ans[2]) for k in range(1, 11)],
         marker='o')
# plt.show()
plt.savefig('sample2.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
(1)
    ⎛ n  -n - 1        ⎞
    ⎜2 ⋅2      ⋅(n + 1)⎟
lim ⎜──────────────────⎟
n─→∞⎝        n         ⎠

1/2

2

(2)
    ⎛ -n  n + 1   ⎞
    ⎜2  ⋅2     ⋅n!⎟
lim ⎜─────────────⎟
n─→∞⎝   (n + 1)!  ⎠

0

      2
-1 + ℯ 

(3)
    ⎛ -n  n + 1  3⎞
    ⎜3  ⋅3     ⋅n ⎟
lim ⎜─────────────⎟
n─→∞⎜          3  ⎟
    ⎝   (n + 1)   ⎠

3

∞


C:\Users\...>