2019年5月14日火曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.3(級数)、問題3の解答を求めてみる。



    1. n 2 n > 0 lim n n + 1 2 n + 1 · 2 n n = lim n n + 1 2 n = lim n 1 + 1 n 2 = 1 2 < 1

      よって級数は収束する。


    2. lim n 2 n + 1 n + 1 ! · n ! 2 n = lim n 2 n + 1 = 0 < 1

      よって収束する。


    3. lim n 3 n + 1 n + 1 3 · n 3 3 n = lim n 3 1 + 1 n 3 = 3 > 1

      よって発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, factorial, summation, oo, Limit
import matplotlib.pyplot as plt
print('3.')

n = symbols('n')
ans = [n / 2 ** n, 2 ** n / factorial(n), 3 ** n / n ** 3]

for i, an in enumerate(ans, 1):
    print(f'({i})')
    l = Limit(an.subs({n: n + 1}) / an, n, oo)
    for o in [l, l.doit(), summation(an, (n, 1, oo))]:
        pprint(o)
        print()


def s(k, an):
    return sum([an.subs({n: i}) for i in range(1, k + 1)])


plt.plot([n for n in range(1, 11)],
         [s(k, ans[0]) for k in range(1, 11)],
         [k for k in range(1, 11)],
         [s(k, ans[1]) for k in range(1, 11)],
         [k for k in range(1, 11)],
         [s(k, ans[2]) for k in range(1, 11)],
         marker='o')
# plt.show()
plt.savefig('sample2.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
(1)
    ⎛ n  -n - 1        ⎞
    ⎜2 ⋅2      ⋅(n + 1)⎟
lim ⎜──────────────────⎟
n─→∞⎝        n         ⎠

1/2

2

(2)
    ⎛ -n  n + 1   ⎞
    ⎜2  ⋅2     ⋅n!⎟
lim ⎜─────────────⎟
n─→∞⎝   (n + 1)!  ⎠

0

      2
-1 + ℯ 

(3)
    ⎛ -n  n + 1  3⎞
    ⎜3  ⋅3     ⋅n ⎟
lim ⎜─────────────⎟
n─→∞⎜          3  ⎟
    ⎝   (n + 1)   ⎠

3

∞


C:\Users\...>

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