数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 - 線形写像の合成(基底、恒等写像、対応する行列)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像と行列)、3(線形写像の合成)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}id\left(1,1,0\right)=a_{11}\left(2,1,1\right)+a_{21}\left(0,0,1\right)+a_{31}\left(-1,1,1\right)\\ id\left(-1,1,1\right)=a_{12}\left(2,1,1\right)+a_{22}\left(0,0,1\right)+a_{32}\left(-1,1,1\right)\\ id\left(0,1,2\right)=a_{13}\left(2,1,1\right)+a_{23}\left(0,0,1\right)+a_{33}\left(-1,1,1\right)\\ 2a_{11}-a_{31}=1\\ a_{11}+a_{31}=1\\ a_{11}+a_{21}+a_{31}=0\\ a_{11}=\frac{2}{3}\\ a_{31}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\\ a_{21}=-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=-1\\ 2a_{12}-a_{32}=-1\\ a_{12}+a_{32}=1\\ a_{12}+a_{22}+a_{32}=1\\ a_{12}=0\\ a_{32}=1\\ a_{22}=0\\ 2a_{13}-a_{33}=0\\ a_{13}+a_{33}=1\\ a_{13}+a_{23}+a_{33}=2\\ a_{13}=\frac{1}{3}\\ a_{33}=\frac{2}{3}\\ a_{23}=1\end{array}$

      よって、 求める問題の2つの基底と恒等を後に対応する行列は、

      $M_{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}^{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}},\left(id\right)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& 0& \frac{1}{3}\\ -1& 0& 1\\ \frac{1}{3}& 1& \frac{2}{3}\end{array}\right]$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}{a}_{11}-a_{21}+2a_{31}=3\\ a_{11}+2a_{21}-a_{31}=2\\ 4a_{21}+a_{31}=1\\ a_{11}+6a_{21}=3\\ a_{11}=3-6a_{21}\\ a_{31}=3-6a_{21}+2a_{21}-2\\ =1-4a_{21}\\ 3-6a_{21}-a_{21}+2-8a_{21}=3\\ a_{21}=\frac{2}{15}\\ a_{11}=3-6·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2}{15}=\frac{33}{15}\\ a_{31}=1-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}\\ a_{12}-a_{22}+2a_{32}=0\\ a_{12}+2a_{22}-a_{32}=-2\\ 4a_{22}+a_{32}=5\\ a_{12}+6a_{22}=3\\ a_{12}=3-6a_{22}\\ 3-6a_{22}-a_{22}+2a_{32}=0\\ a_{32}=\frac{7a_{22}-3}{2}\\ 4a_{22}+\frac{7a_{22}-3}{2}=5\\ \frac{15}{2}{a}_{22}=\frac{13}{2}\\ a_{22}=\frac{13}{15}\\ a_{12}=3-6·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{13}{15}=-\frac{33}{15}\\ a_{32}=\frac{7·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{13}{15}-3}{2}\\ =\frac{23}{15}\\ a_{13}-a_{23}+2a_{33}=1\\ a_{13}+2a_{23}-a_{33}=1\\ 4a_{23}+a_{33}=2\\ -3a_{23}+3a_{33}=0\\ a_{23}=a_{33}\\ a_{33}=\frac{2}{5}\\ a_{13}-\frac{2}{5}+\frac{4}{5}=1\\ a_{13}=\frac{3}{5}\end{array}$

      よって求める行列は、

      $\frac{1}{15}\left[\begin{array}{ccc}33& -33& 9\\ 2& 13& 6\\ 7& 23& 6\end{array}\right]$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve


print('3.')

t = [(Matrix([[1, -1, 0],
              [1, 1, 1],
              [0, 1, 2]]),
      Matrix([[2, 0, -1],
              [1, 0, 1],
              [1, 1, 1]])),
     (Matrix([[3, 0, 1],
              [2, -2, 1],
              [1, 5, 2]]),
      Matrix([[1, -1, 2],
              [1, 2, -1],
              [0, 4, 1]]))]

X = Matrix([[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}') for j in range(3)]
            for i in range(3)])

for i, (A, B) in enumerate(t):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(solve(B * X - A))
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
(a)
{a₁₁: 2/3, a₁₂: 0, a₁₃: 1/3, a₂₁: -1, a₂₂: 0, a₂₃: 1, a₃₁: 1/3, a₃₂: 1, a₃₃: 2
/3}

(b)
⎧                                                 13                          
⎨a₁₁: 11/5, a₁₂: -11/5, a₁₃: 3/5, a₂₁: 2/15, a₂₂: ──, a₂₃: 2/5, a₃₁: 7/15, a₃₂
⎩                                                 15                          

  23          ⎫
: ──, a₃₃: 2/5⎬
  15          ⎭


C:\Users\...>