数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 級数(絶対収束、累乗(べき乗、平方)、極限、発散)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.3(級数)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   1. 
      

      部分和について、

      $\begin{array}{l}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k^2\\ =a_1^2+a_2^2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n^2\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left(a_1+a_2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n\right)}^2\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left(\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left|a_n\right|\right)}^2\\ ={\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|a_k\right|\right)}^2\end{array}$

      問題の仮定の絶対収束するということから

      $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|a_k\right|$

      は

      $n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

      のとき収束する。

      よって、

      $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_n^2$

      は収束する。

      逆は成り立たない。

      反例。

      $a_n=\frac{1}{n}$

      のとき、

      $\begin{array}{l}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_n^2\\ =\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n^2}\end{array}$

      は収束するが

      $\begin{array}{l}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|a_n\right|\\ =\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n}\end{array}$

      は発散するので、絶対収束しない。

      （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo
import matplotlib.pyplot as plt

print('4.')

n = symbols('n')

an = 1 / n
ans = [an ** 2, abs(an), an]

for an in ans:
    s = summation(an, (n, 1, oo))
    for a, o in zip(['一般項', '無限級数'], [an, s]):
        print(a)
        pprint(o)
        print()


def s(k, an):
    return sum([an.subs({n: i}) for i in range(1, k + 1)])


plt.plot([k for k in range(1, 11)],
         [s(k, ans[0]) for k in range(1, 11)],
         [k for k in range(1, 11)],
         [s(k, ans[1]) for k in range(1, 11)],
         marker='o')
# plt.show()
plt.savefig('sample4.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
一般項
1 
──
 2
n 

無限級数
 2
π 
──
6 

一般項
│1│
│─│
│n│

無限級数
  ∞      
 ____    
 ╲       
  ╲   │1│
   ╲  │─│
   ╱  │n│
  ╱      
 ╱       
 ‾‾‾‾    
n = 1    

一般項
1
─
n

無限級数
∞


C:\Users\...>