数学 - Python - 解析学 - 関数の極限と連続性 - 関数の極限(有理式の極限、次数)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(関数の極限と連続性)、3.1(関数の極限)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $p>q$

   のとき、

   $\begin{array}{l}\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{a_0+a_{1}x+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_p{x}^p}{b_0+b_{1}x+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+b_q{x}^q}\\ =\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{\frac{a_0}{x^q}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_p{x}^{p-q}}{\frac{a_0}{x^q}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+b_q}\\ =\frac{a_p}{b_q}\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{x}^{p-q}\end{array}$

   よって、

   $\frac{a_p}{b_q}>0$

   のとき、

   $\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

   また、

   $\frac{a_p}{b_q}<0$

   のとき、

   $\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }f\left(x\right)=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

   次の場合分け。

   $p=q$

   のとき、

   $\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }f\left(x\right)=\frac{a_p}{b_q}$

   また、

   $p<q$

   のとき、

   $\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }f\left(x\right)=0$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, oo, Limit, plot

print('2.')

x = symbols('x')

f = 1 + x + x ** 2
g = 1 + x - x ** 2
h = 1 - x

fs = [f / g, g / f, f / h, h / f, g / h, h / g]

for o in fs:
    l = Limit(o, x, oo)
    for s in [l, l.doit()]:
        pprint(s)
        print()

fs = [(f, (x, -5, 5)) for f in fs]
p = plot(*fs, ylim=(-5, 5), legen=False, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

入出力結果(Bash、cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
    ⎛  2         ⎞
    ⎜ x  + x + 1 ⎟
lim ⎜────────────⎟
x─→∞⎜   2        ⎟
    ⎝- x  + x + 1⎠

-1

    ⎛   2        ⎞
    ⎜- x  + x + 1⎟
lim ⎜────────────⎟
x─→∞⎜  2         ⎟
    ⎝ x  + x + 1 ⎠

-1

    ⎛ 2        ⎞
    ⎜x  + x + 1⎟
lim ⎜──────────⎟
x─→∞⎝  1 - x   ⎠

-∞

    ⎛  1 - x   ⎞
lim ⎜──────────⎟
x─→∞⎜ 2        ⎟
    ⎝x  + x + 1⎠

0

    ⎛   2        ⎞
    ⎜- x  + x + 1⎟
lim ⎜────────────⎟
x─→∞⎝   1 - x    ⎠

∞

    ⎛   1 - x    ⎞
lim ⎜────────────⎟
x─→∞⎜   2        ⎟
    ⎝- x  + x + 1⎠

0


C:\Users\...>